17. Может быть, уместно заметить, что способ нахождения флюксии прямоугольника, состоящего из двух непрерывных переменных величин [флюент], в том виде, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от вышеизложенного, взятого из второй книги «Начал», и в сущности является тем же самым способом, который используется в calculus differentialis *. Ибо предположить какую-либо величину бесконечно уменьшенной и вследствие этого отбросить ее — означает по сути дела отбросить бесконечно малую величину; и действительно, требуется поистине чудесная острота восприятия, чтобы суметь провести различие между исчезающими приращениями и бесконечно малыми дифференциалами. Конечно, можно возразить, что величина бесконечно уменьшенная становится нулем и поэтому ничто не отбрасывается. Но в соответствии с общепринятыми принципами очевидно, что ни одна геометрическая величина не может быть никакими делениями или делениями делений совершенно исчерпана или сведена к нулю. Если принять во внимание различные хитрости и уловки, примененные великим автором метода флюксий — как разносторонне он трактует свои флюксии и какими различными способами пытается доказать одно и то же положение, — то есть основание считать, что он сам сомневался в справедливости своих доказательств и не был доволен ни одним понятием настолько, чтобы придерживаться его твердо. По крайней мере ясно одно: ему самому пришлось удовлетвориться некоторыми определенными положениями, но тем не менее он не мог взять на себя доказать их другим **. Я не берусь определить, возникла ли эта удовлетворенность на основании экспериментальных (tentative) методов или индукции, что часто признается математиками (например, д-ром Уоллесом в его «Арифметике бесконечно малых»). Но как бы ни обстояло дело в отношении автора, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, чем точными в изучении его принципов.
* «Analyse des infiniment petits», part 1, prop. 2 [7].
** См. письмо к Коллинзу от 8 ноября 1676 г.
375
18. Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differentialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубежденный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рассматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом *. Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. и вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.
* § 5 и 6.
19. и тем не менее представляется, что, если в посылках допускаются какие-либо ошибки, следует ожидать соответствующих им ошибок в заключении, имеем ли мы дело с конечными пли бесконечно малыми величинами; и в силу этого [9] геометрии требует, чтобы ничем не пренебрегали и ничего не отбрасывали. В ответ на это вы, возможно, скажете, что заключения правильны и истинны и что поэтому принципы и методы, на основе которых они
376
получены, тоже должны быть правильны и истинны. Но этот обратный (inverted) способ доказательства правильности принципов на основе выводов настолько же присущ вам, господа, насколько противоречит правилам логики. Истинность вывода ни в коей мере не докажет правильность ни формы, ни сущности силлогизма, ввиду того что заключение могло быть неверным или посылки ложными, а вывод тем не менее будет правильным, хотя и не благоцаря такому заключению или таким посылкам. Я утверждаю, что в любой другой науке люди доказывают свои выводы на основе принципов, а не свои принципы на основе выводов. Но если в своей науке вы разрешаете для себя этот неестественный ход рассуждений, то в качестве последствия такого шага вам придется взять на вооружение индукцию и распроститься со [строгими] доказательствами. А если вы пойдете на это, ваш авторитет уже не будет более прокладывать путь вперед в вопросах разума и науки.
