упомянутых неясных неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал. Наконец, замечу: если предположить, что дифференциалы являются конечными величинами, значение которых может быть и очень велико, то и в этом случае итог тем не менее будет прежним ввиду того, что отброшенные величины игнорируются на законном основании, — не потому, что малы, а по другой причине, а именно из-за противоположных по характеру ошибок, которые, взаимно уничтожаясь, в целом приводят к тому, что в действительности ничего не отбрасывается, хотя по видимости что-то отвергается. и эта причина в равной степени действительна в отношении величин конечных и бесконечно малых, больших и маленьких, как фута и ярда, так и наименьшего приращения.
24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую
380
AT в точках R и S. Положим, что LR — касательная в точке R, AN — абсцисса, NR и OS — ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведем RP параллельно NO. Положим, что AN=
x, NR=
y, NO=
v, PS=
z, поднормаль (subsecant) MN=
s. Пусть уравнение
y=xxвыражает характеристику кривой; предположив, что
уи
хвозрастают на конечное приращение, мы получаем:
у +z = хх+2xv+vv;
отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остается
z=2xv+vv. На основании подобия треугольников
подставив сюда вместо
уи
zих значения, мы получаем:
Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а
v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда S=NL= , что и является истинным значением подкасательной. и поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, все же она будет. А если NO — бесконечно малая величина, даже тогда будет на-
381
лицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или S было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в отбрасывании
v, и в результате этой последней ошибки s стала больше, чем ее истинное значение, и вместо него дала значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. и к этому он сводится в действительности и в основе своей остается тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выражение для всех поднормалей, а затем подведя подкасательную под это общее правило, считая ее поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.
