27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избавляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное предположение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, которую я вообще не мог бы получить, если бы не предположил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометрическом доказательстве нам может быть позволено допускать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать правильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда (
о—qo) равно нулю. и поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рассуждение необходимо признать в качестве весьма логичного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. и это — истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет учения о дифференциалах, бесконечно малых величинах, исчезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.
384
28. Допустим, имеется самый общий пример и
х
nравен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты —
nх
n-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено * отношение флюксий
хи
х
n, равное 1 :
nх
n-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH ** и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если
х
nравен площади ABC, то приращение
х
nравно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами
И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, nox
n-1= BDFC. Разделив обе части на
оили
BD, получим nox
n-1= ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине
oox
n
-2и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое — из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD — бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы криволинейные не были бы равными ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные части, остатки тоже будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать ис-
* § 13.
** См. рисунок в § 26.
385
чезающими, в действительности вычитаются. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы конечное пространство CFH было равно остатку приращения, выраженному через
равно, как я сказал бы, конечному остатку конечного приращения.
