Предыдущее изложение имело целью выяснить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и привести тому некоторые элементарные примеры. Это определение оказалось состоящим в том, что для уравнения степенной функции находится коэффициент, так наз. первая (производная) функция, и что то отношение, которое она собою представляет, обнаруживается в моментах конкретного предмета, причем полученным таким образом равенством между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Равным образом надлежит по поводу принципа интегрального исчисления вкратце рассмотреть, что получается для его специфического конкретного определения из его приложения. Взгляд на это исчисление упрощается и исправляется уже тем, что оно не признается более методом суммирования, как оно было названо в противоположность дифференцированию, существенным ингредиентом которого считается приращение, чем оно вводилось в существенную связь с формою ряда. Задача интегрального исчисления прежде всего столь же теоретическая или скорее {201}формальная, как и дифференциального исчисления, но при этом обратная последнему; в первом случае исходят от функции, которая рассматривается, как производная, как коэффициент первого возникающего через развитие еще неизвестного уравнения члена, и через нее должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая в естественном порядке развития рассматривается как первоначальная, здесь имеет характер производный, а та, которая ранее считалась производною, есть здесь данная или вообще первоначальная. Формальная сторона этого действия является уже предрешенною дифференциальным исчислением, так как последнее вообще установляет переход и отношение первоначальной функции к возникающей путем ее развития. Если при этом отчасти для того, чтобы подставить ту функцию, от которой должно исходить, отчасти для осуществления перехода ее к первоначальной функции во многих случаях оказывается необходимым прибегнуть к форме ряда, то нужно прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет никакой непосредственной связи с собственным принципом интегрирования.
Но другою стороною задачи этого исчисления является с точки зрения формального действия его приложение. Последнее и является само задачею узнать — в вышеуказанном смысле — то значение, которое свойственно первоначальной функции, рассматриваемой с точки зрения данной функции, принимаемой за первую (производную) и относимой к особому предмету. Само по себе это учение могло бы, по-видимому, войти вполне в состав дифференциального исчисления; но есть дальнейшее обстоятельство, вследствие которого дело оказывается не так просто. Именно поскольку в этом исчислении оказывается, что в производной функции уравнения кривой получается линейное отношение, то тем самым признается, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в отношении абсциссы и ординаты; или если дано уравнение кривой поверхности, то дифференцирование уже научает значению производной функции такого уравнения, именно что в этой функции ордината представляет функцию абсциссы, стало быть, уравнение кривой линии.
Но тут возникает вопрос, какой из моментов, определяющих предмет, дан в самом уравнении, ибо аналитическое исследование может исходить лишь от данного а и от него переходить к прочим определениям предмета. Дано, например, не уравнение кривой поверхности а, или происходящего через ее вращение тела, или ее дуга, но лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой линии. Переходы от таких определений к этому уравнению не составляют поэтому предмета дифференциального исчисления, найти такие отношения есть дело интегрального исчисления.
Но, далее, было уже показано, что дифференцирование уравнения с многими переменными величинами дает развитие степени или дифференциальные коэффициенты, не как уравнение, а только как отношение; задача состоит в том, чтобы в моментах предмета найти для этого отношения, которое есть производная функция, другое равное ему. Напротив, предмет интегрального исчисления есть самое отношение первоначальной к про{202}изводной в этом случае данной функции, и задача состоит в том, чтобы выяснить значение искомой первоначальной функции в предмете данной производной или, правильнее, так как это значение, например, кривая поверхность или выпрямляемая, представляемая прямою кривая линия и т. п., уже высказано в задаче, в том, чтобы показать, что такое определение может быть найдено через некоторую первоначальную функцию, а также какой момент предмета должен быть принят для исходной (производной) функции.
