Знак Вопроса 1997 № 04 полностью

Замечательная популярная книжка, цитата из которой помещена в эпиграф, начинается тем, что скромный служащий солидного городского банка мистер Томпкинс прочитал объяснение местного университета о лекции по теории относительности Эйнштейна. «Вот это стоящее дело! Мистеру Томпкинсу частенько приходилось слышать, что во всем мире едва ли дюжина людей по-настоящему понимают теорию Эйнштейна! А что, если он, мистер Томпкинс, станет тринадцатым? Ясное дело: он непременно отправится на лекцию. Это как раз то, что нужно!» Однако нам, чтобы попасть на эту лекцию, потребовалось свыше пятидесяти лет — ведь русское издание вышло в памятном 93-м году (а американское издание в 39-м). «Небольшая» перестановка цифр! В детстве я зачитывался чудным очерком «Занимательная прогулка в страну Эйнштейна» ленинградского математика О. А. Вольберга. Его герой мистер Барней падает замертво от пули бандита Клио, который только собирался в него выстрелить. С подробностями этой удивительной истории можно ознакомиться по довоенным изданиям «Занимательной механики» Я. И. Перельмана (в послевоенных изданиях его нет по неизвестным причинам).

Многие авторы пытались дать популярное изложение теории относительности, но мало кому удавалось совместить наглядность с адекватным математическим языком. В наиболее полной мере это удалось Клементу Дьюреллу в книге «Азбука теории относительности», в которой он предложил красивую модель релятивистского мира, основанную на аналогии его законов со свойствами отражения в Зазеркалье. Физик-теоретик Ф. Дайсон, учившийся у него еще в школьные годы, считает, что «это наиболее изящный из его трудов и, безусловно, лучшее популярное введение в теорию относительности.»

Релятивистские эффекты сокращения хорошо моделируются как оптические продольные сокращения, которые легко объяснимы с помощью формулы линзы. Если принять фокусное расстояние за единицу, то школьная формула линзы сводится просто к закону обратной пропорциональности: × = 1/Х, где × и X- расстояния от фокуса до объекта и до изображения. Искажения связаны с тем, что равномерным шагам к бесконечности будут соответствовать в изображении сокращающиеся шаги к Фокусу. Дьюрелл пишет, что шаги Алисы в Зазеркалье становятся все короче и короче, ибо она никогда не сможет продвинуться за точку F. Фокус является конечным образом бесконечности. Парадоксально, но факт!

В модели Дьюрелла можно пользоваться поворотом на действительный угол а. Действительно, если точка m (cos a. sin а), принадлежит окружности, то точка M(l/cos a, tga) — гиперболе. Итак, гиперболе V-изображения будет соответствовать окружность в Н-проекции.　

Вычисления, основанные на использовании тригонометрических функций, позволили написать программу Durell. bas:

SCREEN 8

PI = 3.141593

COLOR 15, 1

M = 640: N = 200

LINE (.047 × M, 75 × N) — (.67 × M, 75 × N)

LINE (.414 × M, 10 × N) — (.42 × M, 0)

PRINT SPC(25); «у»; SPC(15); «Y»

PRINT

FOR k = TO PI / 3 STEP PI / 6

FOR i = 0 TO PI / 6 STEP PI / 150

t = 1 / 2 — (k + i)

x = (.234 +.19 × COS(t)) × M

у = (.75 —.3 × SIN(t)) × N

u = (234 +.19 / COS(t)) × M

v = (.075 — /3 × TAN(t)) × N

PSET (x, y)

PSET (u, v)

FOR w = 1 TO 1000

NEXT w

NEXT i

PRINT USING «it##.###»-,SPC(22); SIN(T);

PRINT USING «###.###»; SPC(9); TAN(t);

PRINT

LINE (.047 × M, 75 × N) — (u, v)

CIRCLE (x, y), 5

CIRCLE (u, v), 5

NEXT k

PRINT

END

Гиперболу можно рассматривать как изображение окружности в плоскости, где в качестве базиса берутся единичный вектор а, и мнимоединичный вектор b. «По существу, дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения… Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа», — пишет П. К. Рашевский в книге «Риманова геометрия и тензорный анализ».