Знак Вопроса 1997 № 04 полностью

В первой работе Эйнштейна (1905), в которой был сформулирован принцип относительности, еще не было языка неевклидовой геометрии. Это было сделано Минковским за несколько месяцев до смерти (наступившей в январе 1909 г.) в докладе, опубликованном посмертно. Его основной темой была геометрия, названная позже псевдоевклидовой геометрии, или геометрией Минковского, значение которой для теории относительности всегда подчеркивалось, Эйнштейном.

Формула линзы наглядно показывает относительность конечного и бесконечного. Романтики посвящали бесконечности и стихи. В начале романа «Отверженные» В. Гюго определил его как «драму, в которой главное действующее лицо бесконечность. Человек в ней — лицо второстепенное».

Повышенное внимание к «краевому мышлению» характерно не только для поэтов, но и для математиков. Математик Ж. Адамар в эссе «Исследование психологии процесса изображения в области математики», призывая «думать около», усматривает аналогии между краевым сознанием и расплывчатыми идеями, находящимися в «прихожей сознания» и время от времени выступающими на передний план, в поле ясного сознания. Вспомним историю отторжения векторного исчисления и неевклидовой геометрии. Очень показательно в этом отношении неприятие Вейерштрассом на его семинаре (в феврале 1870 г) системы неклассических геометрии Кэли-Клейна. «Я отнесся к этой отрицательной позиции с уважением и отложил в сторону уже созревшую идею. Я всегда робел перед критикой логиков, которая была далека от моих интересов. Только гораздо позже я понял, что суть дела заключается в различии наших подходов и что психология математического творчества таит в себе огромные проблемы. Очевидно, Вейерштрасс по натуре своей был склонен к тщательной, постепенной работе, шаг за шагом пролагающей путь к вершине; ему менее свойственно было издали распознавать не достигнутые еще высоты», — отмечал Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии».

Система неевклидовых геометрий была впервые построена Феликсом Клейном, который опирался на алгебраическую работу Артура Кэли «On quantics». На прямой возникают три различные метрики: эллиптическая, гиперболическая и параболическая. Аналогично можно ввести метрику углов (в пучке прямых): эллиптическую, гиперболическую и параболическую, комбинируя все возможные типы мероопределения расстояния и углов, получаем 3 x 3 = 9 геометрий на плоскости:

Геометрия Евклида, Галилея, Лобачевского и Минковского входят в систему Кэли-Клейна, что позволяет взглянуть на них с более общих позиций. Каждую геометрию можно охарактеризовать выражением для скалярного произведения векторов. В результате более чем столетней давности работ Кэли и Грассмана в геометрии открылся «королевский путь». Начиная с «Эрлангенской программы» Клейна, стало очевидным единство геометрии и алгебры. Действительно в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и преобразований в нем. Осознание того, что это установившийся процесс переосмысления, позволяет предположить, что «открытия, которые стоили стольких усилий…рискуют превратиться в дальнейшем в игрушки для школьников будущих поколений», — заключает Ж. Дьедонне, один из лидеров группы французских математиков, писавших под псевдонимом Н. Бурбаки.

Дьюрелл моделирует лоренцево сокращение как оптическое сокращение. Действительно каждого, кто смотрел в бинокль на электричку, поражало, что ее вагоны выглядят смешными обрубками (которые чем дальше — тем короче). Место кажущегося схода параллельных рельсов (на горизонте) является с данной точки зрения бесконечно удаленной точкой. Расстояния между шпалами тоже укорачиваются в перспективе, которая формируется хрусталиком глаза (подобно линзе фотокамеры).

Процесс построения перспективного изображения состоит в том, что между глазом зрителя и объектом проводится луч, проходящий через прозрачную картинную плоскость, на которую проектируются точки предметной плоскости. Линия горизонта на картине находится на уровне глаз наблюдателя, На горизонте сходятся параллельные линии. Но они пересекаются между собой лишь в бесконечности.

Это — удивительный факт и вместе с тем, первое, что узнает ученик художественной школы — это как изображать параллельные прямые!

Способ рисования изображен на известной гравюре Дюрера: