Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа ? поля K/k с разложением простых идеалов поля k в поле K. Для любого простого идеала B относительной степени f в поле K подстановки s из ? со свойством sB = B образуют группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля K/k (поле разложения). Элемент из K принадлежит этому полю, если он инвариантен относительно всех подстановок из группы разложения. Множество подстановок t, переводящих каждое целое число A поля K в число tA, сравнимое с A по mod B, образует инвариантную подгруппу группы разложения индекса f, которая называется группой инерции. Соответствующее поле (поле инерции) зажато между полем разложения и полем K. Пусть p — простой идеал в k и Bl — точная степень B, делящая p. Я дам представление о характере результатов Гильберта, сформулировав следующий его центральный результат. В поле разложения идеала B разложение простого идеала p на простые множители содержит простой идеал p* = Be степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от поля разложения к полю инерции идеал p* остается простым, но его степень увеличивается до f; при переходе от поля инерции к полю K идеал p* распадается на e простых сомножителей B одинаковой степени f. Для дальнейшего я добавлю следующее замечание. Если B входит в разложение p только в первой степени, т.е. e=1 (что всегда выполняется, если p не делит относительный дискриминант поля K/k), то группа инерции состоит только из единичного элемента. В этом случае теория конечных полей Галуа показывает, что группа разложения является циклической порядка f, а её элементы 1, s, s2, ..., sf–1 однозначно определяются сравнениями
sA ? AP, s2A ? AP?, ... (mod B)
справедливыми для любого целого числа A. Здесь P обозначает число вычетов в k по модулю p и, тем самым, Pf совпадает с числом вычетов в K по модулю B. Сегодня мы называем элемент s = ?(B) подстановкой Фробениуса идеала B. При этом особо важным является то, что некоторый специальный элемент группы разложения может быть выделен среди всех остальных. Сразу же видно, что для любого элемента u группы Галуа ?(uB) = u–1?(B)u. Таким образом, если поле Галуа K/k является абелевым, то подстановка ?(B) = ?(uB) зависит только от p и может быть обозначена через ( | K p | ) | . |
В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung 8 обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел. Спустя некоторое время Минковский выбыл из участия в этом проекте. Монументальный обзор Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkorper появился в Jahresbericht 9 в 1896 году (предисловие датировано апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил всё то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет, изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом в теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. Доказательства всех известных теорем были тщательно проанализированы, прежде чем он остановился на тех из них, «принципы которых поддаются обобщению и более всего пригодны для дальнейших исследований». Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое внимание было уделено обозначениям, благодаря чему впоследствии они стали общеупотребительными (включая, к ужасу американских издателей, готические буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить теорию Куммера, основанную на очень сложных вычислениях, а также ввести те понятия и доказать большинство из тех теорем, которые составляют сегодня основания общей теории относительных абелевых полей. Наиболее важными в ней являются понятие символа норменного вычета, центральная теорема об относительных циклических полях, знаменитая Satz 10 90 (Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне привести один абзац из предисловия, в котором он описывает общий характер теории чисел и, в частности, те темы, которые затрагиваются в его обзоре.
