Гильберт полностью

«Теория числовых полей представляет собой здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая идеями часть этого здания, как мне кажется, есть теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера о высших законах взаимности и исследований Кронекера по комплексному умножению эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время, что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».

Сам Гильберт был рудокопом, который в течение следующих двух лет добыл бoльшую часть скрытой под землей руды. Руководящим принципом в это время для него служила аналогия с соответствующими проблемами для алгебраических функций от одной переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых интегралов, введённые Риманом (ср. его замечания в разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое удовольствие наблюдать, как шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит адекватные понятия и методы и делает важные заключения. Я упомяну о его выдающейся работе по относительным квадратичным полям, а также о его последней и самой важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkorper. Подробно разбирая примеры, ему удалось предсказать и сформулировать основные факты о так называемых полях классов. В то время как работы Гильберта по теории инвариантов служили завершением теории, его работы по алгебраическим числам были только началом. Бoльшая часть усилий таких теоретико-числовиков последних десятилетий, как Фуртвенглер, Такаги, Хассе, Артин, Шевалле, была направлена на доказательство результатов, предсказанных Гильбертом. Используя ?-функцию для доказательства существования некоторых вспомогательных простых идеалов, Гильберт существенно опирался на трансцендентные рассуждения. Последующее развитие постепенно избавилось от этих трансцендентных методов, показав, что, хотя те и являются подходящим и мощным инструментом для исследования распределения простых идеалов, они чужды для проблем теории полей классов. Пытаясь описать основные моменты последней, я не буду отказываться от прогресса и упрощения, достигнутого этим недавним развитием.

Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: (1) он осознал основную идею и определил символ норменного вычета для всех неисключительных простых идеалов; (2) он понял необходимость введения бесконечных простых точек; (3) он сформулировал общий закон взаимности в терминах норменного символа; (4) он увидел, что этот закон позволяет распространить определение норменного символа на исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен главный интерес. Существенный прогресс произошел после того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа. В своём наброске проблем, поставленных Гильбертом, я воспользуюсь этой идеей Артина, а также упрощающим языком (6) p-адических чисел Гензеля и (7) иделей Шевалле ¹¹.

Как хорошо известно, целое число a, не делящееся на простое число p?2, называется квадратичным вычетом, если сравнение x² ? a(mod p) разрешимо. Гаусс ввел символ

(

ap

) ,

равный +1 или –1 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом или невычетом по mod p. Он же заметил, что тот является характером,

Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, ..., p–1, образуют поле, а ненулевые элементы этого поля образуют группу, в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу индекса 2. Пусть K = Q(vb) — квадратичное поле, которое получается из поля рациональных чисел Q присоединением квадратного корня из рационального числа b. Целое число ??0 Гильберт называет p-адической нормой в K, если по модулю любой степени p оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в K. Он полагает

и показывает, что этот p-адический норменный символ также является характером. Систематическое изучение чисел по модулю произвольных степеней простых чисел p было проведено К. Гензелем в рамках его p-адических чисел, и я повторю на этом языке определение Гильберта: «Рациональное число a ? 0 или, более общо, p-адическое число a_p ? 0 является p-адической нормой в поле K, если уравнение

a_p = Nm (x + yvb) = x² – by²

имеет p-адическое решение x = x_p, y = y_p; норменный символ (a_p, K) равен +1 или –1 в соответствии с тем, является ли a_p p-адической нормой в K или нет».