Гильберт и Штуди вместе нанесли рекомендованные им Клейном математические визиты. Посылая свои письма Клейну, они читали их вслух друг другу, дабы избежать повторения информации.
Сразу же, как только Гильберт устроился, он написал Клейну. Письмо показывает его почтение к профессору. Его черновик был написан старательно, с большим вниманием в отношении правильного, изысканного стиля, а затем переписан крупным аккуратным латинским шрифтом вместо готического, которым он продолжал пользоваться в своих письмах к Гурвицу.
«То, что я не смог написать Вам раньше и, вверившись международной почте, прислать письмо вовремя, объясняется различными причинами и непредвиденными заботами, которые всегда неизбежны при первом посещения чужой страны. К счастью, теперь я привык к климату и освоился с новым окружением настолько, чтобы начать проводить время так, как я хочу...»
Он прилагал все усилия к тому, чтобы, следуя наставлениям Клейна, подружиться с Пуанкаре. Хотя этот француз был всего на шесть лет старше его, он уже опубликовал более ста работ. Вскоре его должны были представить в члены Академии с простым сопровождением, что его работы «выше обычной похвалы».
В своём первом письме Клейну Гильберт сообщил, что Пуанкаре всё ещё не нанёс ответного визита ему и Штуди; однако он добавлял, что ему удалось прослушать лекции Пуанкаре в Сорбонне по теории потенциала и механике жидкости и после этого быть представленным ему.
«Он читает свои лекции очень ясно и понятно для моего образа мышления, хотя, как заметил здесь один французский студент, пожалуй, слишком быстро. Он производит впечатление очень молодого и несколько нервного человека. Даже после нашего знакомства он не кажется очень дружелюбным; я думаю, что это объясняется его явной застенчивостью, которую мы не смогли преодолеть из-за отсутствия у нас лингвистических способностей».
К тому времени, когда Гильберт писал следующее письмо Клейну, Пуанкаре нанёс ответный визит молодым немецким математикам. «Но относительно Пуанкаре я могу сказать всё то же: он кажется скрытным из-за застенчивости, которую можно будет преодолеть, если умело подойти к нему».
Отвечая на письма из Парижа, Клейн (обосновавшийся теперь в Гёттингене) не отдавал предпочтения ни одному из двух своих молодых математиков. «Совершенно необходимо, чтобы Вы и Гильберт наладили личный контакт с Горданом и Нётером», — писал он Штуди. «В следующий раз, — заканчивал он своё письмо, — я буду писать доктору Гильберту». По-видимому, Гильберт больше дорожил письмами Клейна, во всяком случае, он сохранил письма, написанные как Штуди, так и ему самому.
Французские математики, — писал Гильберт Клейну, — встретили его и Штуди с большой теплотой. Особенно добр был Жордан, он же «был одним из тех, кто передавал Вам самые лучшие пожелания». В честь Гильберта и Штуди он устроил обед, «на который были приглашены только Альфан, Маннгейм и Дарбу». Однако, так как из уважения к гостям все говорили по-немецки, разговор о математике был «очень поверхностным».
Лекции по математике, которые слушал Гильберт, не произвели на него впечатления. «Французские студенты имеют не много того, что бы нас заинтересовало». Лекции Пикара оказались «менее элементарными». Хотя Гильберту было трудно понимать произношение Пикара, его лекции он посещал регулярно. «Он производит впечатление очень энергичного и уверенного как в разговоре, так и в преподавании».
Некоторые из знаменитых математиков их разочаровали. «Что касается Бонне, то труд, который мы затратили на его поиски — досадное невезенье заставило нас обойти три разных дома, — был едва ли сравним с той выгодой, которую мы получили от общения с таким старым математиком. Он явно уже не имеет отношения к математике».
Гильберт и Штуди посетили собрание Математического общества в надежде познакомиться с какими-нибудь молодыми или по крайней мере более молодыми математиками: «Одной из причин этого является желание отдохнуть от людей, подавляющих нас своим величием». Среди тех, с кем они познакомились, больше всего на Гильберта произвёл впечатление некий г-н д'Окань «своими приятными манерами и простотой в обращении».
На заседании Общества Гильберту пришёл в голову набросок более прямого доказательства одной теоремы, приведённой в сообщении д'Оканя. «Поддерживаемый Альфаном, я набрался смелости показать этот новый способ доказательства». Д'Окань попросил Гильберта написать это доказательство и предложил помочь ему во французском, если он захочет опубликовать его в
В связи с этим Клейн заметил; «Что касается публикаций Пуанкаре, то они всегда производили на меня впечатление, что их автор имеет намерение что-то опубликовать, даже если в этом ничего или почти ничего нового не содержится. Согласны ли Вы с этим? Не слышали ли Вы в Париже, что у некоторых такое же мнение?»
