Кронекеру принадлежат очень важные достижения в математике и особенно в высшей алгебре. Однако, как он однажды заметил, ему пришлось потратить больше времени на обдумывание философских проблем, чем математических. В последнее время он раздражал своих коллег-математиков, особенно немецких, громко выражаемыми сомнениями о законности оснований большей части современной математики. Главной его заботой было понятие арифметического континуума, лежащего в основе анализа. Континуум есть совокупность вещественных чисел — положительных и отрицательных — целых, дробных, рациональных или иррациональных, каждое из которых математики изображают одной из точек на прямой. Хотя вещественные числа в математике использовались уже давно, только в прошлом столетии их природа была тщательно исследована и объяснена точным и строгим образом. Это было сделано в работах Коши и Больцано, а совсем недавно в работах Кантора и Дедекинда.
Эти новые работы не устраивали Кронекера. По его убеждению, в математике ничего не существует, кроме того, что может быть построено с помощью конечного количества положительных целых чисел. С этой точки зрения дроби существуют, так как они представляются в виде отношения двух положительных чисел; в то же время иррациональные числа, например ?, не существуют, так как их можно представить только бесконечным рядом дробей. Однажды, обсуждая с Линдеманом его доказательство трансцендентности числа ?, Кронекер заявил: «Что пользы в вашем замечательном исследовании числа ?? Зачем заниматься такими проблемами, когда иррациональные числа не существуют?» Хотя он ещё не сделал своего замечания: «Бог создал натуральные числа, всё остальное — дело рук человеческих», но в частных беседах уже заявлял о новой программе, предназначенной «арифметизировать» математику и исключить из неё все «неконструктивные» понятия. «Если же я этого сделать не сумею, — говорил он, — то это сделают те, кто придёт после меня».
Обладая многими привлекательными чертами, Кронекер в то же время делал ядовитые и очень личные нападки на математиков, чьи математические работы он не одобрял. («На самом деле, — вспоминал Минковский в своем письме к Гильберту, — я не слышал много хорошего о Кронекере даже в Берлине».) Выдающийся старый Вейерштрасс был доведён почти до слёз замечаниями Кронекера о «некорректности
Гильберт был предупреждён о возможном неприветливом приёме у Кронекера, но, к удивлению, был принят — писал он Клейну — «очень дружелюбно».
Вернувшись в Кёнигсберг, он серьёзно занялся хабилитацией. Работа, которую он готовил, была также посвящена теории инвариантов, однако ставила перед собой значительно более серьёзные цели, чем обычные докторские диссертации. Одному математику, которому позже пришлось изучать в свои студенческие годы «каждую строчку» Гильберта, показалось, что эта работа основывалась на удивительно ложном пути: «Она начинается с утверждения, что представляет собой важнейшую точку зрения, а затем просто переливает из пустого в порожнее. Из неё ничего не вышло... Я всегда удивлялся, что в течение нескольких лет Гильберт находился в тупике, быть может из-за слишком формального подхода, которому он, возможно, был обязан своим контактом со Штуди».
Кроме своей работы, соискатель хабилитации должен был также прочитать лекцию ка одну из выбранных им тем, которая была одобрена факультетом. Гильберт предложил две темы: «Самые общие периодические функции» и «Понятие группы». Факультет выбрал первую из них, что больше устраивало и Гильберта. Этой лекцией остались довольны все; так же успешно прошёл и устный экзамен. Гильберт смог написать Клейну 8 июля 1886 года: «Тот титул, с которым Вы незаслуженно обратились ко мне в прошлом письме, теперь принадлежит мне по праву».
Незадолго до этого Гильберт и Клейн обсуждали целесообразность защиты хабилитации в Кёнигсберге. Столица Восточной Пруссии была весьма отдалённой математической провинцией. Немногие студенты желали отправляться заниматься математикой в такую даль; в действительности их было так мало, что Линдеману пришлось отказать в просьбе Минковского защищать хабилитацию в Кёнигсберге после увольнения из армии.
«Однако, в конце концов, я доволен и рад своему решению остаться в Кёнигсберге, — писал Клейну Гильберт.— Постоянное сотрудничество с профессором Линдеманом и больше всего с Гурвицем будет настолько же интересно, насколько окажет полезное и стимулирующее влияние на меня. Что плохо в Кёнигсберге — так это то, что он очень далёк от интересующей меня математики. Однако я надеюсь исправить это, предприняв в следующем году ряд научных поездок. Быть может, тогда мне удастся познакомиться с господином Горданом...»
Почти половина самых плодотворных лет между двадцатью и тридцатью годами уже прошла.
