Гильберт полностью

Однако 30 января, получив за это время два письма от Гильберта с подробными объяснениями, Кэли поздравлял молодого немца: «Моя трудность имела априорный характер, я думал, что подобный процесс можно было бы применить также и к полуинвариантам, а это оказывается не так; теперь мне совершенно ясно... Я думаю, что Вы нашли решение великой проблемы».

Гильберт решил проблему Гордана способом, очень напоминающим тот, которым Александр Македонский развязал гордиев узел.

В Гордиуме (рассказывает нам Плутарх) он увидел знаменитую колесницу, привязанную верёвками, сделанными из коры кизилового дерева. Согласно преданиям местных жителей, развязавший этот узел овладеет мировой империей. Большинство авторов рассказывают, что Александр, поняв, что он не сможет развязать узел, концы которого были секретно перевязаны и спрятаны внутрь, разрубил его на части своим мечом. Однако, согласно Аристотелю, он легко с этим справился, вынув только гвоздь из дышла, к которому было привязано ярмо, и после этого снизу вытянув само это ярмо.

При доказательстве конечности базиса системы инвариантов не использовалось его явное построение, как это пытались сделать Гордан и другие. Не нужно было даже указывать на метод его построения. Всё, что требовалось, — это доказать, что конечный базис, по логической необходимости, обязан существовать, ибо в противном случае получается противоречие. Именно это и сделал Гильберт.

Реакция некоторых математиков напоминала реакцию фригийцев на то, как Александр «развязал» узел. Они совсем не были уверены, что ему удалось это сделать. Гильберт не построил самого базиса и не дал способа его построения. Его доказательство теоремы Гордана нельзя было использовать для получения конечного базиса системы инвариантов даже какой-нибудь одной алгебраической формы.

Линдеман нашёл методы своего молодого коллеги «unheimlich» — неудобными, чудовищными, сверхъестественными. По-видимому, только Клейн оценил всю силу его работы — «абсолютно простой и потому логически безупречной», — и именно в это время он решил, что при первой же возможности должен заполучить Гильберта в Гёттинген. Впервые после долгого математического молчания громкий голос Гордана раздался в математическом мире: «Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie» ¹⁶.

Теперь Гильберт открыто выступил в общей полемике о природе математического существования, которая была начата Кронекером. Кронекер настаивал, что без построения не может быть существования. Для последнего, как и для Гордана, доказательство Гильберта конечности базиса системы инвариантов было просто не математикой. В противоположность этому Гильберт всю жизнь утверждал, что предложение, любое следствие которого непротиворечиво, должно считаться истинным.

Несмотря на философские разногласия, Гильберт находился в то время под сильным влиянием математических идей Кронекера.

На самом деле, как стало ясно позднее, главное значение его работы по инвариантам заключалось в применении арифметических методов к алгебраическим проблемам. Экземпляр каждой своей работы он посылал Кронекеру. Тем не менее Кронекер как-то заметил с обидой Минковскому, что он прекратит посылать свои работы Гильберту, если тот не будет посылать ему своих. После этого Гильберт сразу же написал формальное, вежливое, но решительное письмо:

«Я точно помню, и это же ясно показывает мой список посылаемых работ, что я позволил себе смелость отправлять Вам копию каждой работы, без исключения, сразу же после её выхода из печати; кроме того, Вы были так добры, что на некоторые последние отправления прислали мне открытки с благодарностью. С другой стороны, высокочтимый профессор, ещё не было случая, чтобы я получил в качестве подарка хотя бы один оттиск Ваших работ. Однако в прошлом году, когда я имел честь посетить Вас, Вы упомянули, что пошлёте мне что-нибудь по своему выбору. Мне кажется, что это указывает на какие-то недоразумения между нами, и я пишу эти строки, чтобы поскорее, насколько это возможно, рассеять их».

Затем после многих исправлений он попытался выразить мысль, что во всём им написанном надо видеть только один смысл: не упрёки, а только объяснения. Отчаявшись, наконец, он просто подписался: «С глубочайшим уважением, Давид Гильберт».

В следующие два года, будучи ещё доцентом, Гильберт послал две заметки в Nachrichten, а затем в 1890 году на основе всех своих работ по алгебраическим формам он написал подробную статью для Annalen. К этому времени революционное воздействие его работ стало повсеместно признаваться и приниматься. Переменил своё отношение к молодому человеку и Гордан. Предлагая другое доказательство одной из теорем Гильберта, он писал, что доказательство господина Гильберта было «абсолютно верным», а его собственное доказательство было бы даже невозможно, «если бы господин Гильберт не применил в теории инвариантов понятий, развитых Дедекиндом, Кронекером и Вебером в другой части математики».