Из Гёттингена Гильберт направился в Берлин, где посетил Лазаруса Фукса, который был теперь там профессором университета. Кроме того, он посетил Гельмгольца, а также Вейерштрасса, который недавно вышел в отставку. Затем он снова нанёс визит Кронекеру. Будучи большим поклонником математических работ Кронекера, он тем не менее находил чрезвычайно отталкивающим не терпящее возражений отношение старика к вопросу существования в математике. На этот раз он обсуждал с Кронекером некоторые свои планы дальнейших исследований в теории инвариантов. По-видимому, они не произвели большого впечатления на Кронекера. Он сослался на свою собственную работу, сказав, как заметил себе Гильберт, «что мои исследования по этому вопросу содержатся там». С другой стороны, они имели пространную беседу об идеях Кронекера относительно природы существования в математике и о его возражениях против использования Вейерштрассом иррациональных чисел. «Единственное равенство есть 2 = 2... Только дискретное или особое имеет смысл», — записал Гильберт в маленькую записную книжку, куда он заносил свои замечания о беседах с посещаемыми им математиками. На важность этой беседы для развития Гильберта в то время указывает тот факт, что в этой книжице ей было посвящено четыре страницы, в то время как на других математиков, в том числе Гордана, никогда не затрачивалось больше страницы.
От Кронекера он уехал, продолжая думать о проблеме Гордана.
Дома, в Кёнигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. В августе, как обычно, он поехал в Раушен; оттуда 6 сентября 1888 года он послал короткую заметку в
Известие о решении знаменитой старой проблемы застало всех врасплох, и первой реакцией было полное недоверие.
После простейшего случая, доказанного самим Горданом, поиски решения в общем случае велись, по существу, в том же направлении, т.е. при помощи сложного алгоритмического аппарата, аналогичного тому, который с таким успехом использовал Гордан. В случае многих переменных и сложной группы преобразований этот подход становился фантастически трудным. Стало обычным делом видеть в
В этой атмосфере сплошного формализма Гильберт пришёл к мысли, что единственный способ добиться желаемого доказательства должен лежать на совершенно другом пути от того формалистического подхода, через который не могли пробиться все современные ему исследователи. Отбросив весь этот сложный аппарат, он свёл проблему, по существу, к следующему вопросу:
«Пусть задана бесконечная система форм от конечного числа переменных. При каких условиях существует конечная система форм, через которую все другие выражаются в виде линейных комбинаций, коэффициенты которых суть целые рациональные функции от тех же переменных?».
Ответ, к которому он пришёл, состоял в том, что такая система форм
Это сенсационное доказательство существования конечного базиса системы инвариантов основывалось на одной лемме, или вспомогательной теореме, о существовании конечного базиса модуля, математическую идею которой он почерпнул при изучении работ Кронекера. Лемма была такой простой, что казалась почти тривиальной. Тем не менее доказательство общей теоремы Гордана являлось её непосредственным следствием. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, — «естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте», как выразил её позже один из его учеников.
Как только в декабре вышло из печати доказательство теоремы Гордана, Гильберт сразу же отослал один экземпляр Артуру Кэли, который полвека назад заложил основы этой теории. («Теория алгебраических инвариантов, — писал позже один математик, — появилась наподобие Минервы: взрослая дева, покрытая блестящими доспехами алгебры, она выросла прямо из божественной головы Кэли. Её Афинами, которыми она правила и которым она служила как охраняющая и благодетельная богиня, была проективная геометрия. С момента её рождения она была призвана защищать предложение, что все проективные системы координат эквивалентны...»)
«Дорогой сэр, — вежливо отвечал Кэли из Кембриджа 15 января 1889 года, — я должен поблагодарить Вас за экземпляр Вашей заметки... Мне кажется, что эта идея чрезвычайно важна и полезна и что она должна привести к доказательству теоремы об инвариантах; однако я всё ещё не могу поверить, что у Вас есть такое доказательство».
