В то время как Гильберт был вовлечён в чистейшую часть чистой математики, Минковский всё больше от неё отдалялся. 31-летний Генрих Герц, спустя два года после своего открытия электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом, стал недавно профессором физики в Бонне. Минковский, жалуясь на «полное отсутствие хотя бы наполовину нормальных математиков» среди своих коллег, стал всё больше склоняться к Герцу и физике. Перед рождеством он писал, что, вопреки обычаю, он не будет проводить каникулы в Кёнигсберге: «Хотя я и не знаю, надо ли тебя утешать, так как сейчас ты нашёл бы меня полностью заражённым физикой. Наверное, мне пришлось бы даже пройти 10-дневный карантин, прежде чем вы с Гурвицем допустили бы меня, как математика чистого и неприкладного, к своим совместным прогулкам».
В другой раз он писал: «Причиной, по которой я теперь почти полностью плаваю в физических водах, является то, что в настоящий момент, как чистый математик, я здесь единственный среди призраков, кто имеет чувствительное сердце. Поэтому, — объяснял он, — для того чтобы контактировать с другими смертными, мне пришлось окружить себя магией, или, другими словами, физикой. Свои лабораторные дни я провожу в Институте физики, дома я изучаю Томсона, Гельмгольца и их компанию. С конца следующей недели мне даже придётся несколько дней в неделю работать в голубом дыму одного института, где в качестве техника мне придётся изготовлять физические приборы, т.е., как ты можешь себе представить, заниматься сугубо практической работой».
Однако расхождение в научных интересах не повлияло на дружбу; на самом деле именно в это время молодые люди в своей переписке сделали знаменательный переход с формального «Sie» 17 на дружеское «du» 18.
Годам приват-доцентства, казалось, не будет конца. Бoльшая часть писем посвящалась обсуждению возможности повышения. В 1891 году Минковский писал, что, по слухам, ему могут предложить место в Дармштадте. «Однако этот луч надежды может светить до тех пор, пока не станет освещать уже почти совсем седые волосы». В этом же году, по-видимому по особому разрешению университета, лекции Гильберта по аналитическим функциям слушал только один студент — американец из Балтимора, несколько старше, чем молодой лектор, однако, по словам последнего, «очень сообразительный и чрезвычайно заинтересованный». Это был Фабиан Франклин, важный человек в теории инвариантов и преемник Сильвестра в университете Джонса Гопкинса.
Так как в Кёнигсберге было мало студентов-математиков, Гильберт, кроме математических собраний, посещал также и собрания естествоиспытателей. Кёнигсберг был удивительно богат близкими ему по духу молодыми людьми. Среди них был Вихерт, в это время тоже доцент, а также недавно присоединившийся к нему студент Арнольд Зоммерфельд, вместе с которым они изобретали гармонический анализатор. Оба они со временем стали выдающимися специалистами в электродинамике. Однако, когда «маленький Зоммерфельд» услышал лекцию Гильберта по теории идеалов, он сразу же решил, что его интересует только самая чистая и абстрактная математика. Позже он заметил, что «уже было ясно, что дух особой силы принялся за работу».
Светская жизнь здесь была довольно бурной. Гильберт был весёлым молодым человеком с репутацией «энергичного танцора» и «обворожителя», как выражался один из его родственников. Он неутомимо флиртовал со многими девушками. Однако его любимым партнёром во всякого рода развлечениях была Кёте Ерош, дочь кёнигсбергского торговца, откровенная, молодая девушка, независимость мышления которой была почти сравнима с его собственной.
Даже после работы 1890 года проблема Гордана не оставляла Гильберта. Как и большинство математиков, он предпочитал явное построение доказательству существования. Как сказал один математик, «имеется большая разница между доказательством существования объекта определённого типа при помощи построения осязаемого примера такого объекта или при помощи рассуждений, показывающих, что его отсутствие приводит к противоречию. В первом случае имеется осязаемый объект, а во втором — лишь противоречие». Ему очень хотелось получить для старого Кронекера, Гордана и других конструктивное доказательство конечности базиса системы инвариантов. Но в настоящее время он просто не видел никакого подходящего способа. Однако в следующие два года направление его работы стало меняться. Его начинают всё больше привлекать идеи, относящиеся к полям алгебраических чисел. И снова они были связаны с именем Кронекера. Именно здесь Гильберт нашёл наконец-то те мощные методы, которые он так давно искал. В основополагающей работе 1892 года он рассмотрел вопрос о необходимых условиях, позволяющих найти полную систему инвариантов, через которую можно выразить все остальные инварианты. Основываясь на ранее доказанной теореме, ему удалось предложить метод, позволяющий, по существу, за конечное число шагов получить искомую конструкцию.
