Гильберт полностью

Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях. Кронекер недавно умер; однако тем, кто, как и он, заявлял, что утверждение о существовании объекта без его явного построения не имеет смысла, Гильберт мог всегда возразить: «Значение доказательств чистого существования состоит в точности в том, что, избегая конкретного построения, они подчиняют многие различные конструкции одной основной цели, позволяющей выявить в доказательстве самое существенное; краткость и экономия мысли есть raison d'etre ¹⁹ таких доказательств. Запретить теоремы существования... равносильно отказу от всей математической науки».

Теперь, используя теорему существования, Гильберту удалось получить построение. Толчок, который дало это достижение для распространения методов существования, вряд ли можно переоценить.

Минковский был в крайнем восхищении: «Уже давно для меня было ясно, что дело только во времени, чтобы тобою был разрешён старый вопрос об инвариантах, — отсутствовали только точки над «i»; но то, что всё обернулось столь удивительно просто, наполнило меня большой радостью, и я тебя поздравляю».

Он был склонен к литературным вдохновениям и был любителем метафор. От первого доказательства существования Гордан почувствовал перед глазами дым, но теперь Гильберт изобрёл бездымный порох. Замок баронов-разбойников — Гордана и остальных — был сровнен с землей, было опасение, что он никогда не возродится. Гильберт смог бы помочь своим коллегам-математикам, если бы снабдил их своими материалами, с помощью которых они смогли бы восстановить замок. Но, вероятно, он не захочет тратить своё время на это. Ещё оставалось так много дел, которые он способен был совершить! Сам Гордан любезно признал: «Я убедился, что у теологии есть своя преимущества».

Когда Клейн отправился в Чикаго на объявленный Международный конгресс математиков в честь основания Чикагского университета, он взял с собой работу Гильберта, в которой этот молодой человек между делом подытожил историю теории инвариантов и свою долю участия в ней: «В истории математической теории легко различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что касается теории алгебраических инвариантов, то её первых основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия инвариантности и изящно применяя их к решениям уравнений первой степени, они испытали первые радости открытия. Клебш и Гордан, которые изобрели и привели в совершенство символическое исчисление, были лидерами второго периода. Критический период нашёл своё выражение в теоремах, которые я перечислил выше...»

Теоремы, на которые он ссылался, были его собственными. Это утверждение, довольно дерзкое для молодого математика, который ещё не был даже ассистент-профессором, имело, однако, достаточно оснований. Кэли и Сильвестр были ещё живы, один был в Кембридже, а другой в Оксфорде. Клебш уже умер, но Гордан был жив и являлся одним и самых видных математиков того времени. Теперь, в 1892 году, после работ Гильберта теории инвариантов, понимаемой, как во времена Кэли, внезапно пришёл конец. Как писал позже один математик, «вся теория испустила дух».

При решении проблемы Гордана Гильберт нашёл себя и свой метод атаки конкретной знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему. Впервые случилось что-то совершенно неожиданное. Вначале заинтересовавшая его проблема была решена, а её решение полностью освободило его от неё.

В заключение своей последней работы по инвариантам он писал: «Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты». В одном письме к Минковскому он высказался ещё более решительно: «Я определённо брошу теорию инвариантов».

Примечания

1.

Ныне г. Калининград. (Здесь и далее, кроме особо отмеченных случаев, примечания переводчика.)

2.

Тайный советник (нем.)

3.

Ныне р. Прегойя.

4.

Морская пенка (нем.).

5.

Ныне г. Каунас Литовской ССР.

6.

Ныне г. Светлогорск Калининградской области РСФСР.

7.

Большая премия за достижения в математических науках (фр.).

8.

«Ничто так не прекрасно, как истина, только она достойна обожания» (фр.).

9.

Экстраординарный профессор (нем.). Преподавательская должность в немецких высших учебных заведениях, приблизительно соответствующая должности ассистент-профессора (assistant professor) в американских университетах или должности старшего преподавателя в вузах СССР.

10.

Руководителем (англ.).

11.

Хабилитация (нем.) — право читать лекции в германских университетах, а также работа, представляемая для получения этого права.

12.

Милость читающего (лат.); здесь: право читать лекции по своему выбору.

13.