Гильберт полностью

Подход Минковского к теории чисел был геометрическим, его целью было выразить с помощью геометрии соотношения между алгебраическими числами. При этом подходе многие доказательства становились более прозрачными. Он был глубоко погружён в работу над книгой об этой новой теории, и его письма к Гильберту были полны забот об изложении материала в ней. Окончательный вариант должен был быть «klipp und klar» ¹. Хотя он и называл Пуанкаре «величайшим математиком в мире», Гильберту он писал: «Я не могу заставить себя издавать свои труды в том виде, в каком издаёт их Пуанкаре».

Эта книга часто мешала Минковскому проводить свои каникулы в Кёнигсберге. Гильберт жаловался, что после отъезда Гурвица не с кем беседовать на математические темы. «Мое положение гораздо хуже твоего, — напоминал ему Минковский. — Насколько Кёнигсберг отдалён от остального мира, настолько Бонн отдалён от математики. Я здесь просто математический эскимос!»

К началу нового года (1893) дела Минковского улучшились. Книга была наполовину окончена и уже заслужила похвалу Эрмита, которую Гильберт нашёл очень трогательной.

«Вы очень добры, что назвали мои старые исследования отправной точкой для Ваших замечательных результатов, — писал Минковскому старый французский математик, — но Ваши результаты оставили мои настолько позади, что заслуга последних состоит теперь только в том, что они проложили путь, выбранный Вами для исследований».

Гильберт начал год новым доказательством трансцендентности чисел е (впервые доказанной Эрмитом) и ? (доказанной Линдеманом). Его доказательство представляло значительный прогресс по сравнению с прежними и было удивительно простым и прозрачным. Это был великолепный результат, который Минковский ожидал от него с прошлой осени. Сразу же после получения этого результата он сел и написал письмо Гильберту.

«Час назад я получил твою заметку о e и ?... и мне остаётся только выразить тебе моё искреннее и сердечное удивление... Я живо представляю себе оживление Эрмита, вызванное чтением твоей статьи. Насколько я знаю старика, я не удивлюсь, если в ближайшем будущем он сообщит тебе о своей радости, что он всё ещё способен испытывать наслаждение от такой работы».

Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. «Отныне я целиком посвящу себя теории чисел», — писал он Минковскому после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.

Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отзывался о ней как о «неистощимом источнике интересных истин». Гильберт относился к теории чисел как к «зданию редкой красоты и гармонии». Как и Гаусса, его привлекала «простота её фундаментальных законов, малое количество определений и чистота её истин»; оба они в равной степени были восхищены резким различием между очевидностью формулировок её результатов и «чудовищной» трудностью их доказательства. Однако, одинаково отзываясь о ней, они говорили о двух различных ветвях теории чисел.

Похвалы Гаусса относились к классической теории чисел, восходящей к грекам и имеющей дело с соотношениями между обычными целыми или натуральными числами. Важнейшие из них касались отношений между простыми числами, этими «кирпичиками» числовой системы, и остальными, которые, в отличие от них, кроме 1 и самих себя имеют ещё и другие делители. Ко времени Гаусса понятие натурального числа было значительно расширено. Но Гаусс был первым математиком, выведшим теорию чисел за пределы изучения «поля» рациональных чисел. Числовое поле есть множество чисел, в котором сумма, разность, произведение и (в отличие от целых чисел) частное двух чисел есть некоторое число из этого множества. Гаусс рассматривал числа вида a + bv–1, где a и b — рациональные числа. Множество таких чисел, как и аналогичное множество чисел вида a + bv2, образует числовое поле, поле алгебраических чисел; такие поля являются предметом изучения так называемой алгебраической теории чисел. Именно об этом направлении теории чисел, созданном Гауссом, с похвалой отзывался Гильберт.