Зенон выступил с критикой распространенного в его время математического учения, основные черты которого таковы: первоначалом всего являются материальные, но не протяженные точки; складывая точки, получаем линию; накладывая друг на друга линии, получаем плоскость; накладывая друг на друга плоскости, получаем тело. Это не мешало этим ученым, однако, в противоречии со всей их теорией признавать, что величины делимы до бесконечности.
Критика этой теории была у Зенона исходным пунктом и основой его критики понятий протяженности и множественности вещей вообще. Эти понятия Зенон считал внутренне противоречивыми и потому истинному бытию не присущими.
Чтобы понять аргументацию Зенона, необходимо принять во внимание некоторые особенности древнейшей греческой математики. Все величины делились античными математиками на две категории: протяженные и непротяженные. На этом делении основывались два положения, бывшие, по мнению древних, основными аксиомами математики: 1) сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой; 2) сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать равной некоторой, заранее заданной протяженной величине. Исходя из этих аксиом, считавшихся тогда непосредственно очевидными для каждого, Зенон утверждал, что обычное представление о множественности вещей приводит к абсурду. В самом деле, первая из этих аксиом гласит, что сумма бесконечно большого числа сколь угодно малых протяженных величин бесконечно велика. Но тогда всякая величина бесконечно велика, ибо всякую величину можно разделить на бесконечно большое число частей; деление тела можно продолжать бесконечно долго; все равно каждая часть останется имеющей какую-нибудь, хотя бы чрезвычайно малую величину, и, следовательно, получится бесконечно большое число протяженных частиц, т. е. все тело, сумма их, равно бесконечности. Чрезвычайно удобным способом сделать себе наглядным такое деление является последовательное деление на два. «Прежде чем пройти путь, надо пройти его половину», прежде половины — половину от половины и т. д. Итак, мы имеем бесконечное число протяженных отрезков; следовательно, весь путь окажется бесконечным. Это положение было иллюстрировано Зеноном на примере «быстроногого» Ахилла, догоняющего черепаху: пусть Ахилл находится в точке А, черепаха в точке Б. Когда Ахилл прибудет в точку Б, черепаха прибудет в точку В; когда Ахилл придет в В, черепаха будет уже в Г и т. д. — словом, между Ахиллом и черепахой всегда будет некоторое расстояние, и он ее никогда не догонит. Все эти парадоксы вытекали из неверной аксиомы, считавшейся в древности самоочевидной: сумма бесконечно большого числа бесконечно малых протяженных величин бесконечно велика. Играя на противоречиях, связанных с понятием бесконечно малого, Зенон пытается также доказать, что движение вообще существовать не может. Например, он говорит, что в каждый отдельный момент летящая стрела стоит на одном месте. Если бы она в этот момент передвинулась, скажем, из точки А в точку Б, то это был бы уже не один момент, а два момента: тот, в который она находилась в точке А, и тот, в который она находилась в точке Б. А если стрела неподвижна в каждый отдельный момент, то, значит, она неподвижна и все время, а следовательно, двигаться не может. Такого рода ухищрениями элейцы пытались подорвать доверие к какой бы то ни было науке вообще и таким образом расчистить дорогу для всякого рода мистических и религиозных спекуляций.
Зенону удалось вскрыть противоречие, заключенное в понятии движения. Однако его «возражение неверно... оно описывает результат движения, а не само движение... (диалектическое) противоречие им не устранено, а лишь прикрыто» (Ленин).[197]
Зенон принес большую пользу математике, показав, что она должна лучше обосновать свои исходные положения. Эту задачу выполнили, каждый по-своему, с одной стороны — Демокрит, с другой — Евдокс или его неизвестный нам предшественник. Но эта реформа математики имела место только через 20 — 30 лет после выступления Зенона. Пока же новые орудия математической мысли не были выкованы, возможно было одно из двух: или вовсе отказаться от отвлеченных геометрических построений или просто игнорировать возражения Зенона. По первому пути пошел Протагор, по второму — Эмпедокл и Анаксагор.
