При таком положении вещей мы можем оставаться в пределах теории поля в собственном смысле, и при изучении следствий из квантовой электродинамики, относящихся к измеримости полевых величин, мы можем исходить прямо из перестановочных соотношений для полей без зарядов. Используя обычные обозначения [p,q] = pq-qp, мы будем тогда иметь следующие соотношения 1 между компонентами поля в двух пространственно-временных точках (x1,y1,z1,t1) и (x2,y2,z2,t2):
[E
(1)
x
,
E
(2)
x
]
=
[H
(1)
x
,
H
(2)
x
]
=
-1
h
(A
(12)
xx
-A
(21)
xx
),
[E
(1)
x
,
E
(2)
y
]
=
[H
(1)
x
,
H
(2)
y
]
=
-1
h
(A
(12)
xy
-A
(21)
xy
),
[E
(1)
x
,
H
(2)
x
]
=
0,
[E
(1)
x
,
H
(2)
y
]
=
-[H
(1)
x
,
E
(2)
y
]
=
-1
h
(B
(12)
xy
-B
(21)
xy
),
(1)
Здесь выписаны только типичные соотношения для некоторых компонент; остальные получаются из них циклической перестановкой.
1 Ср.: Jordan, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1928, 47, 151, а также: W. Heisenberg, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1929, 56, 33. Если отвлечься от несущественного отличия в знаке, происходящего от иного выбора направления времени в разложении Фурье для поля, приведённые здесь формулы совпадают по своему смыслу с теми, какие выведены в цитированных работах. В частности, используемое здесь написание, в котором все члены представлены как запаздывающие, означает чисто формальное изменение, введённое с целью сделать возможно более наглядным толкование проблем измерения.
В этих соотношениях символы E(1)x, E(1)y, E(1)z, H(1)x, H(1)y, H(1)z означают значения компонент электрического и магнитного поля в пространственно-временной точке (x1, y1, z1, t1); в соотношениях использованы также сокращенные обозначения
A
(12)
xx
=
-
2
x1x2
-
1
c2
2
t1t2
x
x
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
,
A
(12)
xy
=
-
2
x1y2
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
,
B
(12)
xy
=
-
1
c
2
t1z2
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
.
(2)
Далее, h обозначает делённую на 2 постоянную Планка, c — скорость света и r — пространственное расстояние между двумя точками. Наконец, обозначает введённую Дираком несобственную функцию, определяемую, как известно, соотношением
t''
t'
(t-t
0
)
dt
=
1 при t' < t0 < t'',
0 при t0 < t' или t0 > t''.
(3)
Эта функция дифференцируется формально как обычная функция.
Появление в перестановочных соотношениях (1) дельта-функции, определяемой формулой (3), связано с тем уже упоминавшимся выше обстоятельством, что в квантовой теории поля величины поля не могут рассматриваться просто как функции точки; однозначный смысл имеют лишь интегралы от компонент поля, взятые по пространственно-временной области. Имея в виду простейшую возможность проверить математический аппарат, мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением средних значений компонент поля, взятых по односвязной пространственно-временной области G, пространственная часть которой остаётся в течение некоторого промежутка времени постоянной. Обозначая через V объём этой пространственной части и через T соответствующий промежуток времени, мы можем дать, например, для среднего по G значения Ex следующее определение:
E
(G)
x
=
1
VR
R
dt
V
E
x
dv
.
(4)
Для определяемых таким образом средних значений двух составляющих поля, взятых по двум заданным пространственно-временным областям I и II, имеют место перестановочные соотношения, которые легко получаются из (1) путём интегрирования по обеим областям и деления на произведение четырёхмерных протяженностей этих областей. При этом значения скобок [E(I)x, E(II)x] и т. д. прямо получаются из формул (1), если в этих формулах заменить величины A(12), B(12) их средними значениями по обеим областям, а именно
A
(I,II)
xx
=
-
1
VIVIITITII
TI
dt
1
TII
dt
2
VI
dv
1
VII
dv
2
x
x
2
x1x2
-
1
c2
2
t1t2
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
,
A
(I,II)
xy
=
-
1
VIVIITITII
TI
dt
1
TII
dt
2
VI
dv
1
VII
dv
2
x
x
2
x1y2
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
,
B
(I,II)
xy
=
-
1
VIVIITITII
TI
dt
1
TII
dt
2
VI
dv
1
VII
dv
2
x
x
1
c
2
t1z2
1
r
t
2
-t
1
-
r
c
.
(5)
Как известно, лежащее в основе принципа неопределённости соотношение Гейзенберга
p
q
~
h
(6)
для двух канонически сопряженных механических величин выводится из общих перестановочных соотношений квантовой механики
[q,p]
=
-
-1
h
(7)
Совершенно так же для произведения дополнительных неопределённостей в рассматриваемых средних значениях поля получаются следующие типичные формулы:
E
(I)
x
E
(II)
x
~
h|
A
(I,II)
xx
-
A
(II,I)
xx
|,
E
(I)
x
E
(II)
y
~
h|
A
(I,II)
xy
-
A
(II,I)
xy
|,
E
(I)
x
H
(II)
x
=
0,
E
(I)
x
H
(II)
y
~
h|
B
(I,II)
xy
-
B
(II,I)
xy
|.
(8)