Некоторые важные для нас результаты выводятся непосредственно из выражений (5) и (8). Прежде всего мы видим, что в силу свойства дельта-функции, выражаемого равенством (3), величины A(I,II) и B(I,II) при непрерывном смещении границ областей I и II меняются непрерывно, пока размеры этих областей, т. е. значения VI, TI, VII, TII остаются отличными от нуля. В частности, разности A(I,II) - A(II,I) и B(I,II) - B(II,I) обращаются непрерывным образом в нуль, когда границы обеих областей сливаются. Отсюда следует, что взятые по одной и той же пространственно-временной области средние значения всех компонент поля друг с другом коммутируют, так что должно быть возможно их точно измерить независимо друг от друга. Это следствие теории существенно шире предположения о неограниченной измеримости каждой компоненты поля в отдельности; его можно рассматривать как частный случай двух общих теорем, вытекающих из свойств симметрии величин A(I,II) и B(I,II). В самом деле, из того факта, что выражения A(12) - A(21) меняют свой знак при перестановке моментов времени t1 и t2 вытекает, что средние значения двух однотипных (т. е. двух электрических или двух магнитных) компонент поля, взятые по двум любым пространственным объёмам, всегда коммутируют, если только соответствующие промежутки времени совпадают. Подобно этому из антисимметрии выражений B(12) - B(21) при перестановке пространственных точек (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) следует далее, что средние значения двух разнотипных компонент (например, Ex и Hy), взятые по двум произвольным промежуткам времени, коммутируют, если только совпадают соответствующие пространственные области.
Эти результаты могут на первый взгляд показаться несовместимыми с перестановочными соотношениями для поля, которые рассматриваются в цитированной книге Гейзенберга. Указанные соотношения выводятся из аппарата теории в форме Гейзенберга—Паули и относятся к средним значениям полевых величин, взятым по конечным пространственным областям для одного и того же момента времени. Что касается средних значений однотипных компонент, то они признаются коммутирующими и в книге Гейзенберга, относительно же разнотипных компонент там утверждается, что их средние значения, взятые по одной и той же пространственной области, не коммутируют. Решение этого противоречия состоит просто в том, что трактовка Гейзенберга соответствует предельному переходу, в котором две первоначально различные пространственно-временные области приводятся к совпадению следующим образом: сперва приводятся к одному и тому же моменту времени их временные протяженности, а затем уже приводятся к совпадению их пространственные протяженности (объёмы). Имея в виду, что выражение (2) для B(12)xy симметрично относительно t1 и t2, и используя свойство (3) дельта-функции, мы находим для совпадающих промежутков времени
B
(I,II)
xy
-
B
(II,I)
xy
=
2
VIVIIT^2
VI
dv
1
VII
dv
2
z1
1
r
,
(9)
где положено TI=TII=T, а двойной интеграл взят по всем парам таких точек обоих объёмов, которые удалены друг от друга на расстояние r, меньшее, чем cT (пару точек образуют одна точка из первого и одна из второго объёма). Если мы теперь предположим, что оба объёма одинаковы по величине (равной VI=VII=V) и одинаковы по форме, но только смещены друг относительно друга в направлении оси z, то в предельном случае, когда можно считать cT исчезающе малым по сравнению с линейными размерами объёмов, мы можем вычислить входящий в (9) объёмный интеграл. После интегрирования по частям мы получим для него выражение вида ±2c^2T^2F, где F — некоторая площадь, для вычисления которой нужно спроектировать кривую пересечения поверхностей, ограничивающих области VI и VII, на плоскость xy и взять площадь, ограниченную этой проекцией; эта площадь и будет равна F. Знак в приведённом выше выражении берётся в зависимости от направления смещения по оси z области II по отношению к области I (а именно, знак плюс при положительном и знак минус при отрицательном смещении). Таким образом, если оба объёма смещаются непрерывным образом один сквозь другой, то разность B(I,II)xy - B(II,I)xy терпит разрыв, равный 8cF/V^2 » причём оба выражения B(I,II)xy и B(II,I)xy меняют свой знак. Поэтому в рассмотренном предельном случае перестановочное соотношение для мгновенных значений пространственных средних от Ex и Hy оказывается существенно неоднозначным, чем и разъясняется упомянутое выше кажущееся противоречие.