Легко видеть, что 1 Поэтому положим Уравнение (9.7) преобразуется к виду Очевидно, что 1 Тогда уравнение (9.8) примет вид Так как С помощью таблиц логарифмов или простой проверкой на микрокалькуляторе находим оценку для v:2 или Для w справедлива оценка 3 Не будем более испытывать терпение читателей (процесс разложения иррационального числа в цепную дробь все равно бесконечен). А в качестве компенсации за длинные выкладки обратим внимание на то, что в наших приближениях (9.6) — (9.11) все время фигурируют музыкальные интервалы: октава (2), квинта (3/2), кварта (4/3), тон (9/8), полутон (256/243) и даже пифагорова комма ((3/2)12:27)! Построим теперь соответствующую цепную дробь: и выпишем подходящие дроби: Первые три дроби 1; 0,5; 0,6 дают слишком грубое приближение к числу x = 0,58505... Четвертая дробь k/n = = 7/12 = 0,5833... является достаточно хорошим приближением. Она-то и положена в основу 12-звукового равномерно-темперированного строя (n = 12, k = 7, т. е. на седьмой ступени 12-звуковой гаммы находится темперированная квинта). Пятая дробь 24/41=0,58536 дает еще лучшее приближение. Таким образом, мы получаем еще одну равномерную темперацию, которая на 24-й ступени имеет практически идеальную квинту. Но ведь октава при этом делится на 41 ступень! Вряд ли кто отважится играть на столь сложном инструменте. Итак, именно 12-звуковая темперация является той "золотой серединой", которая обеспечивает достаточно чистое звучание консонансов при достаточной простоте музыкальной гаммы. История создания равномерной темперации свидетельствует о том, как тесно порой переплетаются судьбы математики и музыки. Равномерная темперация в музыке появилась вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных величин в математике. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя (8.8) было бы попросту невозможно. Логарифмы стали той "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация. И в заключение скажем несколько слов об одном любопытном и пока загадочном свойстве равномерной темперации. Согласно логике построения темперированной шкалы (9.1) все 12 Мы не можем сказать, отражают ли такого рода суждения какие-либо неизвестные пока объективные закономерности, или это дань устоявшейся традиции. Если мы имеем дело с традицией, то ее корни следует искать в пифагоровом строе. Действительно, в пифагоровом строе энгармонические звуки не только нетождественны, но и принципиально отличаются друг от друга по своим качествам и выразительности. В пифагоровом строе Так что же такое есть индивидуальная окраска тональностей: традиция, идущая от пифагорова строя, или неизвестная объективная закономерность? Окончательного ответа на этот вопрос пока не существует. Вот так, вместо обещанной точки в конце параграфа мы вновь пришли к вопросительному знаку. Но ведь это и хорошо, ибо новые вопросы зовут нас в новые пути в неизвестное! А впереди у нас, пожалуй, главный вопрос всей второй части: в чем секрет "закона Пифагора"? Почему приятные для "уха" консонансные интервалы математически выражаются такими приятными для "разума" простыми целочисленными соотношениями 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5?
