Из ныне опубликованной переписки Швейкарта с Гауссом известно (письмо от 25 января 1819 года), что после обнаружения ошибки в собственной книге Ф. Швейкарт к 1818 году разработал альтернативную геометрию, названную им звездной, в которой нет необходимости в пятом постулате Евклида, сумма трех углов в треугольнике может быть меньше двух прямых, и евклидова геометрия является лишь ограниченной частью звездной, или, как можно лучше выразиться сегодня, — виртуальной геометрии. Из переписки следует также, что Ф. Швейкарт попросил Х. Л. Герлинга ознакомить знаменитого К. Ф. Гаусса с его идеями, что тот и сделал в 1819 году. Позже Гаусс, ознакомившись с работой Швейкарта, рекомендовал тому изучить теорию Лобачевского. Согласно собранным мною данным, имя Лобачевского в переписке Гаусса появилось только в 1846 году.
Я убежден в несправедливости утверждения, что именно Фердинанд Швейкарт обратил внимание Гаусса на проблему параллельных прямых. На самом деле реакция Гаусса на присланные ему Х. Л. Герлингом материалы исследований Ф. Швейкарта была вполне определенной: «Почти всё списано с моей души». Это означает, что он давно, задолго до Швейкарта, занимался этой проблемой. Позже Гаусс утверждал, что мысли о возможности неевклидовой геометрии зародились у него за сорок лет до Швейкарта, то есть еще в XVIII веке, и что, не предавая их гласности, ему пришлось «3 или 4 раза возобновлять весь труд в… голове».
Можно заключить, что Ф. Швейкарт (1818) и позже его племянник Ф. А. Тауринус (1825) вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии, но они вряд ли осознали, что намечаемая ими теория будет столь же логически законной, как и геометрия Евклида. Сам Фердинанд Швейкарт ничего более по неевклидовой геометрии не публиковал. К этой истории можно лишь добавить то, что, каким бы ни был реальный вклад «непрофессионала» Фердинанда Швейкарта в неевклидову геометрию, он и по сей день остался безвестным гением, непонятым и одиноким.
Сохранился его рапорт в Совет Харьковского университета, датированный 1815 годом: «Во все времена своей жизни в Харькове я получил только одно письмо от своих друзей и родных и из него узнал, что они получили мое письмо только через три года. Есть нечто тяжелое в этом обстоятельстве, что можно больше чувствовать, чем выражать словами: "что для тела кровь, для торговли деньги, то для науки — общение идей"».
Ясно, что «обращения идей» тогда не было, в Харькове Швейкарту не с кем было общаться по проблеме неевклидовой геометрии, да и от «короля» европейских математиков поддержки он не получил.
Николай Иванович Лобачевский. Н. И. Лобачевский (1792–1856) пришел к убеждению о возможности неевклидовой геометрии скорее всего в 1824–1825 годах, а в 1826-м прочитал доклад о новой теории под названием «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»[79].
В 1835—38 годах Лобачевский опубликовал более развитое изложение своей теории — «Воображаемую геометрию», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в предисловии к которой сказано: «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения». В 1840 году выходят на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей.
В этих работах доказана возможность геометрии, выходящей за пределы аксиом и теорем Евклида. В частности, Н. И. Лобачевский показал, что в реальности для достаточно больших треугольников на земной поверхности (акватории) сумма углов будет меньше 180°, а четырехугольника — меньше 360°. Решение проблемы Лобачевским сводилось к тому, что пятый постулат Евклида не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии и что принятие постулата, противоположного этому постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.
Отдавая приоритет реальности и опыту перед математической игрой ума, Лобачевский расценил, что евклидова геометрия базируется на идеальном пространстве, тогда как в реальности необходима проверка правильности постулата Евклида (подобно другим физическим законам) в опытах, например, при астрономических наблюдениях. По его убеждению, геометрия не является независимой от опыта, а подлежит экспериментальной проверке, и в основании математики должны находиться понятия, «приобретаемые из природы»: «Все математические начала, которые думают произвести из своего разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики». Свою геометрию он рассматривал как возможную теорию свойств реального пространства, то есть свойств структуры соответствующих отношений материальных тел и явлений.
