Природа боится пустоты полностью

Для ясности рассмотрим задачу №R52 из знаменитого египетского папируса Ахмеса — древнего учебного руководства, составленного в первой четверти второго тысячелетия до нашей эры. Текст задачи таков: «Какова площадь усеченного треугольника, если его высота 20 хет, основание 6 хет, а верхнее основание 4 хета? Сложите нижнее основание с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 хет равен 100 локтей. Посчитайте ваш ответ».

Несложно понять, что под усеченным треугольником подразумевается трапеция, площадь которой египтяне определяли как произведение половины суммы оснований на высоту, то есть идентично современной школьной формуле. Впрочем, вычисление ответа само по себе являлось непростым делом, ведь в древнем Египте еще не знали таблицы умножения, а вместо нее применяли метод последовательного удвоения, поэтому даже относительно простые подсчеты получались достаточно громоздкими.

Предположим, что, как и в нашем случае, требовалось перемножить 20 на 5. Для этого сперва записывали вспомогательный ряд чисел, где каждое следующий член был вдвое больше предыдущего, например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Затем составлялся второй ряд чисел — напротив единицы писалось наибольшее число из рассматриваемого произведения (в нашем примере это 20), а следующие члены ряда также получались удвоением предыдущего. Далее выбирались те числа из первого ряда, которые в сумме дают наименьший множитель, а искомое произведение получалось как сумма соответствующих членов из второго ряда. Выглядело это (с поправкой на то, что сами цифры, разумеется, записывались иначе) следующим образом:

✓…..1…..20

……..2…..40

✓…..4…..80

……..8…..160

…………….100

Поскольку 5 = 1 + 4, то 5 х 20 = 20 + 80 = 100.

Конечно, мы сейчас рассмотрели довольно простой и часто встречающийся вычислительный пример, поэтому хороший писец, наверняка, помнил ответ наизусть. Однако несложно убедиться, что описанный способ позволяет вполне успешно заменять умножение сложением и в намного более трудных случаях. Особенно, если учесть, что в конкретных задачах для удобства можно было начинать первый ряд не только с единицы, а с любого удобного числа. Отношения последующих членов ряда также выбиралось исходя из удобства счета.

Ни в одном сохранившемся папирусе, ни в одной расшифрованной клинописной табличке нет ничего похожего на доказательство правильности предлагаемых рецептов. Разумеется, египетские и вавилонские мудрецы должны были каким-то образом получить свои решения и убедиться, что они дают верный результат, однако, вероятно, используемые методы оставались профессиональной тайной узкой группы специалистов высочайшего класса. Лишь отдельные случайные намеки позволяют нам в редких случаях предположить, как был обнаружен тот или иной ответ. Так, например, иной раз мы встречаем в папирусах пояснения, что величину площади треугольника необходимо удвоить, чтобы сделать из него четырехугольник, а нахождение полусуммы оснований трапеции позволяет превратить ее в прямоугольник.

Обычные писцы не вникали в данные тонкости, а просто-напросто заучивали математические книги наизусть, полагая их священной истинной. Кроме того активно использовались всякого рода вспомогательные таблицы: произведений чисел, обратных величин, квадратов, кубов, корней распространенных уравнений и всякое подобное этому. Все это специально вычислялось заранее и тщательно фиксировалось, чтобы в дальнейшем ускорить и облегчить трудоемкие расчеты. У вавилонян имелась даже специальная «логарифмическая» таблица для расчета процентов по кредиту с помощью которой можно было находить показатель степени n, если дано число вида 2ⁿ.

Скорее всего, многие формулы находили с помощью наглядных графических способов. Рассмотрим, например, последовательность 1 + 2 + 3 + … + n. Ее можно представить в виде ступенчатой фигуры, каждая клеточка которой равна 1. Из двух таких фигур легко складывается прямоугольник со сторонами n и n + 1, откуда получаем площадь одной ступенчатой фигуры равной n·(n+1)/2.

С помощью трехмерных фигур, составленных из кубиков, вавилонянам удалось даже определить, что сумма ряда 1² + 2² + 3² + … + n² равна (2n³ + 3n² + n)/6.