Природа боится пустоты полностью

Получив верхнюю оценку площади параболического сегмента, Архимед приступал к определению оценки снизу. Для этого он вписывал в параболу треугольник AOB (правая часть чертежа), а затем достраивал на сторонах этого треугольника дополнительные треугольники APO, предполагая дальнейшее построение новых треугольников на сторонах получившейся фигуры. Несложно показать, что S_APO = ¹/₈·S_AOB, а, значит, за первый этап достраивания (с обеих сторон) мы прибавили ¹/₄ от S_AOB. Аналогично можно показать, что много раз достраивая новые треугольники внутри незаштрихованных областей параболы, мы на каждом этапе получим вчетверо меньшую площадь, чем до этого. Иными словами, чтобы понять, какую часть от треугольника AOB занимает сегмент параболы, нам нужно найти сумму следующего ряда

Очевидно, что сумма этого ряда равна 1+¹/₃ = ⁴/₃. В результате Архимед вновь получил, что разницу между незаштрихованной частью чертежа и ⁴/₃ от S_AOB можно сделать меньше любой наперед заданной малой величины.

Итак, площадь описанного вокруг параболы многоугольника всегда больше ⁴/₃ от S_AOB, а площадь вписанного — всегда меньше ⁴/₃ от S_AOB. Более того, при достаточном числе достраиваний разность между площадями этих многоугольников может быть сделана сколь угодно малой. Отсюда необходимо заключить, что площадь параболического сегмента не может быть ни больше, ни меньше ⁴/₃ от S_AOB. В самом деле, если площадь параболического сегмента больше либо меньше ⁴/₃·S_AOB на величину Δ, то это означает, что разница между площадями указанных многоугольников больше Δ, что абсурдно, поскольку противоречит уже доказанной возможности сделать эту разницу меньше любой величины, включая, разумеется, и Δ.

С современной точки зрения приведенное доказательство выглядит чересчур переусложненным: дважды получается один и тот же результат, после чего добавляется казуистический логический ход сведения к абсурду. Но таковы были математические правила эпохи. Никакой иной способ рассуждений не считался достаточно убедительным.

Если теперь ненадолго вернуться к суммированию ряда, то нужно пояснить, что простая ссылка на чертеж, разумеется, никак не могла считаться достаточно убедительной. В самом деле, не имея еще представлений о теории предела, нельзя было утверждать, что бесконечный ряд имеет какую-то конкретную сумму. Архимед доказывал лишь то, что сумма любого конечного числа членов этого ряда отличается от ⁴/₃ не больше чем на треть последнего члена. Делалось это (в наших обозначениях) следующим образом. Пусть мы имеем ряд членов А, В, С, D, … Y, Z где каждый последующий член равен четверти предыдущего. Тогда запишем следующую (придуманную нами) последовательность

причем

, …,

поэтому

Сократив все одинаковые члены слева и справа, получим

либо же, прибавив A слева и справа, имеемЕсли А = 1, то сумма всех членов ряда и трети последнего члена равна 4/3. С современной точки зрения правомерно заключить, что при достаточно большом числе членов ряда треть последнего может быть сделана меньше любой заданной величины, поэтому сумма просто равна ⁴/₃. Однако Архимед использует уже известный нам шаблон: предполагает, что эта сумма отличается от ⁴/₃ на какую-либо заданную величину, а затем приходит к абсурду.

На способе Архимеда суммировать ряды имеет смысл остановиться подробнее. Это позволит читателю еще лучше уяснить себе, что на самом деле представляла собой математика того времени. Ранее мы уже рассматривали последовательность 1 + 2 + 3…+ n, сумма которой определялась с помощью соединения двух состоящих из клеточек ступенчатых треугольников. Получалось, что сумма такого ряда равна n·(n+1)/2 = (n²+ n)/2. При очень большом числе членов ряда можно пренебречь величиной n по сравнению с n², и получить формулу n²/2.

Такой подход применялся издревле, но получил особенно богатое развитие у атомистов. Однако в геометрической алгебре Евдокса и Евклида современным числам соответствовали только и исключительно отрезки прямых. Мыслить единицу как квадратик единичной площади считалось невозможным. Поэтому Архимед, вынужденный придерживаться данного принципа, суммирует указанный ряд следующим образом. Отрезки располагаются в порядке возрастания (толстые линии на чертеже). Затем каждый отрезок достраивается до самого длинного (до длины n), а в самом начале добавляется еще один отрезок длиной n (тонкие линии на чертеже).

Очевидно, что общее число отрезков теперь равно n+1, а их суммарная длина равна n·(n+1). Также несложно увидеть, что достроенные отрезки в точности повторяют исходные, поэтому их суммарная длина составляет как раз S = n·(n+1)/2 = (n²+n)/2. Ясно, что S > n²/2, так что это значение можно принять за нижний предел.