Если мы введем обозначения
Разумеется, в «Конических сечениях» данный симптом описывается словесно: квадрат, построенный на полухорде LK, должен равняться прямоугольнику, построенному на GF (должны равняться заштрихованные площади, как это показано на чертеже в центре). Иными словами, парабола на плоскости строится следующим образом. Проводится горизонтальная ось. В начале координат (точке G) строится перпендикулярный оси отрезок GF. Далее к каждой координате L на оси прикладывается такой квадрат со стороной LK, площадь которого равна прямоугольнику со сторонами GF и GL. Само название «парабола» происходит от введенного Аполлонием термина παραβολή (приложение), поскольку построение точек этой кривой сводится к задаче о приложении.
Аналогичным образом для эллипса Аполлоний получает уравнение
Задача о нахождении точек гиперболы сводится к приложению с избытком (ύπερβολή переводится как «избыток»), и описывается уравнением
Далее Аполлоний рассматривает конические сечения в алгебраической логике (хотя и продолжает рассуждать геометрически), исследуя свойства полученных уравнений и показывая инвариантность введенных симптомов относительно преобразований систем координат. Хоть вся работа ведется в отрыве от стереометрии (конус был нужен лишь для получения параметров), но при этом доказывается полное тождество новых уравнений и старых определений.
В последующих частях книги Аполлоний описывает особые точки и линий на исследуемых кривых: фокусов, асимптот, полюсов и поляр, пересечений и касательных. Определяются площади сегментов, строятся нормали и эволюты, определяются максимумы и минимумы, а также решаются различные геометрические задачи.
Почти сразу Аполлония обвинили в плагиате: якобы он просто переработал неопубликованные труды Архимеда. При этом уже в предисловии «Конических сечений» указывается, что автор по большей части лишь систематизировал и обобщил открытия своих предшественников. Отсюда можно заключить, что скандал раздували греческие математики, невзлюбившие Аполлония за его переход на сторону римской партии. В действительности же ситуация была скорее обратной, и он скромно преуменьшал собственные достижения, а не приписывал себе чужие.
Судя по всему, в реальности имело место здоровое заочное соперничество двух великих математиков. Так, в ответ на работы Архимеда «Об измерении круга» и «Исчисление песчинок» (посвященной в частности наименованию больших чисел), Аполлоний написал сочинение с сатирическим названием «Ускорение родов», где иным путем нашел более точное значение для π, а также предложил достаточно удобную систему обозначения больших чисел, продемонстрировав заодно виртуозные способности к вычислениям.
В ответ Архимед опубликовал свою знаменитую задачу о быках, которая хоть и была отправлена Эратосфену и другим александрийским математикам, но косвенным адресатом явно подразумевала Аполлония. Условия этой занимательной задачи были следующими. Бог Гелиос пасет на Сицилии четыре стада: белое, черное, рыжее и пестрое. В каждом стаде присутствуют быки и коровы. При этом известно, что
— число белых быков равно (1/2+1/3) от черных быков и рыжим быкам;
— число черных быков равно (1/4+1/5) от пестрых быков и рыжим быкам;
— число пестрых быков равно (1/6+1/7) от белых быков и рыжим быкам.
— число белых коров равно (1/3+1/4) от темного стада;
— число черных коров равно (1/4+1/5) от пестрого стада;
— число пестрых коров равно (1/5+1/6) от рыжего стада;
— число рыжих коров равно (1/6+1/7) от рыжего стада.
Требуется исчислить число голов в стадах Гелиоса. По мнению Архимеда, каждого, кто сможет отыскать решение самостоятельно, уже нельзя будет называть невеждой.
Мы сразу привели формализованное условие в стандартном современном виде, тогда как оригинальный текст представляет из себя стихотворение, в котором даже после перевода не так-то просто разобраться. Сама задача сводится к системе семи уравнений с восемью неизвестными, а наименьшее из возможных решений дает общий размер всех четырех стад, ни много ни мало, в 50 389 073 головы. Произвести все кропотливые вычисления, несомненно, было непросто, но, тем не менее, — вполне реально для античных математиков.
