Природа боится пустоты полностью

Все эти утверждения действительно самоочевидны для каждого, кто знаком с устройством обыкновенных весов, однако тут важна даже не физическая, а рациональная истинность: эти постулаты действительно сложно оспорить (хотя, конечно, при желании можно принципиально отказаться признать любой из них), поэтому теперь на их фундаменте можно было строить надежное здание механической науки. Архимед приступает к доказательству постепенно усложняющихся теорем.

Так, например, утверждается, что центр тяжести системы из двух одинаковых тел находится на середине прямой, соединяющей их центры тяжести. Здесь по умолчанию предполагается, что центр тяжести обязательно лежит на прямой AB, но этот факт не вытекает из перечисленных постулатов. По-видимому, это уже доказывалось в другой книге. Так или иначе, но приняв данное положение, Архимед путем сведения к абсурду легко доказывает, что AO = OB, иначе опертая в точке O система выйдет из равновесия (хотя, поскольку определения центра тяжести в работе не дается, то не совсем ясно, почему, собственно, она вообще должна в нем находиться).

Теперь уже легко доказать, что если взять три одинаковых лежащих на одной прямой и равноотстоящих друг от друга тела, то их общий центр тяжести совпадет с центром тяжести среднего тела (точка B на чертеже). Продолжая рассуждения, можно показать, что, сколько бы мы ни взяли таких тел, но центр тяжести системы всегда окажется посередине между первым и последним.

Завершив подготовительный этап, Архимед приступает к доказательству основной теоремы, обосновывающий принцип рычага: соизмеримые тяжести уравновешиваются на расстояниях обратно пропорциональных их весу. В самом деле, рассмотрим весы с опорой в точке O. Пусть на противоположных концах весов A и B подвешены грузы весом P и Q, причем

Поскольку P и Q соизмеримы, то можно записать их как P = p·k и Q = q·k, где p и q являются целыми числами, а вес k есть общая мера для P и Q.·Отсюда следует, что

Разделим отрезок AB в соотношении q: p, то есть поделим AO на q частей, а OB поделим на p частей (на чертеже условно выбрано q = 4 и p = 7, но на ход дальнейших рассуждений это никак не повлияет). Введем также точку D, которая делит отрезок AB, в обратном соотношении p: q. Слева от A добавим еще p частей, а справа от B добавим еще q частей. Разместим на каждой части грузик весом k/2.

Легко видеть, что АВ = A’O = OB’ = p+q, а точка O является серединой A’B’. Общий центр тяжести системы всех расположенных на A’B’ грузиков k/2 находится в точке O, что уже доказано в теореме о множестве равноудаленных одинаковых тел, расположенных на одной прямой. Значит, отрезок A’B’ с размещенными на нем грузиками должен находиться в равновесии, если будет оперт в точке O.

Все грузики на отрезке A’D имеют вес 2·p·k/2 = P, а их центр тяжести находится в точке A. Согласно исходному шестому постулату все эти грузики можно без нарушения равновесия заменить одним грузом P, подвешенным в точке A.

Аналогично, грузики на отрезке DB’ имеют вес 2·q·k/2 = Q, а их центр тяжести находится в точке B. Согласно исходному шестому постулату все эти грузики можно без нарушения равновесия заменить одним грузом Q, подвешенным в точке B.

Таким образом, мы свели заведомо равновесное состояние к исходному — закон рычага для соизмеримых тяжестей доказан. Распространить это доказательство на случай несоизмеримых величин относительно нетрудно, и Архимед делает это по заимствованному у Евклида шаблону.

Оставшиеся главы работы Архимеда о равновесии, хоть и составляют три четверти от объема всего текста, но малоинтересны для нас, поскольку посвящены в основном чисто геометрическому определению положения центров тяжести различных плоских фигур, зачастую весьма причудливых и не имеющих почти никакого практического значения.