Главным препятствием в распространении теории чисел на поля алгебраических чисел являлось то обстоятельство, что в большинстве таких полей не выполняется основная теорема арифметики, которая утверждает, что каждое натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Это препятствие было в некоторой степени преодолено Куммером, который ввёл в рассмотрение «идеальные числа». После Куммера эту теорию разрабатывали два математика, совершенно по-разному подходившие к математике. Ещё до отъезда Гурвица в Цюрих вместе с Гильбертом они посвящали свои ежедневные прогулки обсуждению последних теоретико-числовых работ этих двух математиков. «Один из нас разобрал доказательство Кронекера теоремы о разложении на простые идеалы, другой же разобрал доказательства Дедекинда, — вспоминал позже Гильберт, — и мы нашли отвратительным как одно, так и другое». Занявшись полями алгебраических чисел, он поступил так, как и при решении проблемы Гордана. Вернувшись к самому началу, он обдумал основные идеи теории. Его первой работой в этой новой области было новое доказательство теоремы об однозначном разложении целых алгебраических чисел на простые идеалы.
Едва Гильберт освоился со своим новым положением женатого человека и ассистент-профессора с постоянным жалованьем, как пришли приятные известия. Линдеман получил приглашение из Мюнхена и собирался покинуть Кёнигсберг.
«Само собой разумеется, и, имея хоть каплю справедливости, другого не может думать и Линдеман, что ты должен быть его преемником, — писал Гильберту Минковскнй. — Если ему удастся это пробить, то он по крайней мере с честью покинет своё место, которое он занимал в течение 10 лет».
Разумеется, Гильберт был согласен с этим. Однако окончательное решение в этом деле принадлежало не Линдеману, а Альтхофу. На вакантную должность профессора факультет назвал Гильберта и трёх более солидных математиков, и список был послан в Берлин.
Альтхоф не был бюрократом, это был администратор с академической практикой. Его великой целью было создание математики в Германии. Будучи близким другом Клейна — оба вместе служили в армии во время франко-прусской войны, — он очень прислушивался к его мнению. Просмотрев впечатляющий список имён, присланный факультетом, он остановил свой выбор на 31-летнем Гильберте. После этого он даже совершил почти неслыханное дело — начал вести с ним переговоры о назначении преемника на его должность ассистент-профессора.
Это открывало возможность возвращения Минковского в Кёнигсберг. Несмотря на сложную ситуацию в Бонне, связанную с болезнью профессора математики, Гильберт с энтузиазмом взялся за незнакомую для него академическую дипломатию. Минковскому он написал об их скорой возможной встрече.
«Для меня было бы особой радостью занять твоё место в Кёнигсберге, — отвечал Минковский. — Здешние контакты с математическими коллегами действительно плачевны. Один жалуется на мигрень, а жена другого вмешивается каждые пять минут, чтобы перевести разговор на другую, нематематическую тему. Если бы вместо этого я имел возможность общаться с тобою, то в научном отношении это означало бы для меня смену ночи на день».
Однако больной профессор в Бонне, успев уже привыкнуть к Минковскому, хотел в делах опереться на его помощь. Альтхоф не любил расстраивать своих профессоров. Переговоры затягивались.
Франц Гильберт, единственный сын Давида и Кете Гильберт.
Тем временем семейные дела шли обычным чередом. 11 августа 1893 года на морском курорте Кранц 2 у Гильбертов родился сын. Они назвали его Францем.
