Гильберт приехал в Гёттинген в марте 1895 года, почти ровно через сто лет после Гаусса. Не сразу студентам стало ясно, что ещё один великий математик продолжил традицию. Гильберт резко отличался от своего предшественника — сутулого и полного достоинства Генриха Вебера, а также высокого и властного Клейна. «Я всё ещё ясно помню, — писал Отто Блюменталь, в то время студент второго семестра, — то странное впечатление, которое на меня произвёл этот просто одетый, энергичный человек среднего роста с красноватой бородкой, который совсем не выглядел профессором».
Репутация Клейна привлекала в Гёттинген студентов со всех концов света и в особенности из Соединённых Штатов.
Центр математической жизни был сосредоточен на третьем этаже Auditorienhaus 7. Здесь Клейн организовал читальню, Lesezimmer, существенно отличавшуюся от других математических библиотек того времени. Книги располагались на открытых полках, к которым имелся свободный доступ студентов. На третьем этаже, в коридоре, Клейн устроил прославившую его позже обширную коллекцию математических моделей. Здесь перед лекциями всегда собирались студенты. Хотя и не являясь комнатой в точном смысле этого слова, это место называлось Комнатой математических моделей.
Лекции Клейна заслуженно признавались классическими. Как правило, примерно за час до лекции он приходил, чтобы проверить энциклопедический список цитируемой литературы, который по его требованию приготовлялся его ассистентом. Это же время он использовал для последней чистки всех шероховатостей и неточностей, которые ещё могли остаться в рукописи. Прежде чем начать лекцию, он обдумывал план расположения формул, диаграмм и цитат. Во время лекции на доске никогда ничего не стиралось. К концу на ней оставался полный конспект лекции, каждый квадратный сантиметр доски был аккуратно заполнен, следуя логическому порядку.
По мнению Клейна, студенты должны были самостоятельно работать над доказательством. Он давал только его общий план. Из-за этого студентам приходилось затрачивать для усвоения материала четыре часа на каждый час, проведённый на лекции. Сильной стороной Клейна была присущая ему широта охвата материала. «Он обладал способностью видеть основную общую идею, пронизывающую отдельные проблемы, и владел искусством представлять её слушателям без лишних необходимых подробностей», — говорил один из его студентов. В отборе материала для лекций Клейн следовал характерному для него величественному плану: «в течение курса дать полное представление о всей обширной территории современной математики».
В противоположность этому, согласно Блюменталю, Гильберт читал свои лекции медленно, «без ненужных украшений» и с частыми повторениями, «чтобы быть уверенным, что все его поняли». Как правило, он повторял материал прошлой лекции, что было привычкой преподавателей гимназии, которой пренебрегали другие профессора. И всё же скоро его лекции, столь непохожие на лекции Клейна, стали производить на многих студентов большее впечатление, так как были полны «красивейшими проникновениями».
В хорошо приготовленной лекции Гильберта одно предложение следовало за другим «просто, естественно и логично». Однако обычно он готовил лекцию только в общих чертах и часто спотыкался в деталях. Случалось, что, не отмечая этого специально, он мог внезапно начать развивать свои собственные идеи. Тогда его лекции ещё разительней отличались от совершенных лекций Клейна и демонстрировали недоработки, неправильно начатые доказательства, а иногда и ошибочное направление самого замысла.
За восемь с половиной лет в Кёнигсберге Гильберт не повторил ни одного предмета, «за одним небольшим исключением» — одночасового курса по определителям. Теперь в Гёттингене ему легко было выбрать темы своих лекций, согласованные с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.
