Чтобы остановиться на чем-нибудь определённом, рассмотрим измерение усреднённого значения компоненты Ex электрического поля по оси x усреднение берётся по объёму V и промежутку времени T. Для этого мы должны взять пробное тело с электрическим зарядом, равномерно распределённым с плотностью по объёму V; нам нужно будет найти значения p'x и p''x составляющей количества движения по оси x для начала t' и для конца t'' промежутка времени T. Тогда искомое усреднённое значение Ex определится из равенства
p
''
x
-
p
'
x
=
E
x
VT
.
(15)
При этом делаются следующие предположения: во-первых, промежутки времени, потребные для измерения импульса (пусть их порядок величины будет t), должны быть весьма малы по сравнению с T; во-вторых, смещения пробного тела, испытываемые им как вследствие измерения импульса, так и в результате ускорения, сообщаемого ему измеряемым полем за время T, должны быть малы по сравнению с линейными размерами объёма V.
Выбирая пробное тело достаточно тяжёлым, мы можем, очевидно, сколь угодно уменьшить его ускорение под действием поля. При измерении же импульса мы встречаемся с обстоятельствами, не зависящими от массы пробного тела. В силу соотношения неопределённости всякое выполненное с неточностью px измерение компоненты импульса px сопряжено с утратой x точности знания координаты данного тела, причём порядок величины x связан с px соотношением
p
x
x
~
h
.
(16)
содержащимся в формуле (6). Само по себе это обстоятельство не представляет, впрочем, ограничения для достижения точности в измерении поля, поскольку мы ещё можем распоряжаться значением плотности заряда. В самом деле, пренебрегая величинами t и x по сравнению с T и L, мы получаем из (15) и (16) для порядка величины неточности Ex в измерении поля значение
E
x
~
h
xVT
,
которое при сколь угодно малом x может быть сделано сколь угодно малым путём выбора достаточно большого значения .
Строго говоря, точность измерения поля зависит ещё от абсолютного значения самой величины В самом деле, даже если бы Ex было равно нулю, получаемое из (15) значение будет, при заданных допусках для t и x, обладать вследствие нерезкости границы области измерения неопределённостью, которая может превысить любое заданное значение, если Ex будет возрастать до бесконечности. Однако последнее обстоятельство отражает только ограничение, свойственное всем физическим измерениям, а именно тот факт, что для надлежащего выбора измерительных приборов необходимо наперёд знать порядок величины ожидаемых эффектов. В нашей задаче верхний предел интересующих нас эффектов определяется тем, что при возрастании значений компонент поля мы постепенно переходим в область применимости классической электромагнитной теории. Если взять случай L cT особенно пригодный для проверки аппарата квантовой электродинамики, то критической в указанном отношении величиной поля будет
Q
=
h
VT
1/2
(18)
Это выражение совпадает с правой частью первой из формул (14), рассмотренных в предыдущем параграфе. Используя это обозначение, можно написать соотношение (17) в виде
E
x
~
Q
,
(19)
где
=
Q
x
(20)
есть безразмерный множитель, характеризующий точность измерения поля.
Требование, чтобы было мало по сравнению с единицей и чтобы вместе с тем x было мало по сравнению с L, означает, что полный электрический заряд тела должен состоять из весьма большого числа элементарных зарядов . Действительно, это число N, согласно (20), равно
N
=
V
=
QV
x
=
1
·
L
x
·
L
cT
1/2
·
hc
^2
1/2
(21)
и оно весьма велико, если выполняются перечисленные требования и если, как мы предполагали, L cT. В формуле (21) последний множитель есть обратная величина корня квадратного из постоянной тонкой структуры, а малость этой постоянной представляет, как мы уже указывали во введении, существенную предпосылку основанной на принципе соответствия электронной теории. Как мы подчёркивали, измерение поля посредством элементарного заряда, взятого в качестве пробного тела, связано с большими ограничениями; это видно уже из формулы (21), если в ней положить N=1 1. Кроме того, предположение, что N велико, представляет необходимое условие физической осуществимости равномерного распределения заряда пробного тела по объёму V; и пока линейные размеры пробного тела остаются большими по сравнению с размерами атома, выполнение этого условия не представляет, очевидно, затруднений. Выше было использовано также допущение, относящееся к массе пробного тела; оно сводится к тому, что эта масса должна быть весьма велика по сравнению с массой светового кванта длины волны L. В предположении, что N велико, это допущение всегда выполнимо, и его можно было бы не оговаривать.
1 См.: V. Fock, Р. Jordan. Zs. f. Phys., 1930, 60, 206, где указывается на ограничения для измерений поля, не связанные с квантовой теорией полей. См. также: J. Solomon. Journ. d. Phys., 1933, 4, 368.