– Красота, если говорить о ней в разрезе математики, – это логические рассуждения, конструкция аксиом и теорем. Построение минимальной аксиоматической базы, а затем выведение из нее сначала простых и, на первый взгляд, совершенно очевидных утверждений, а затем все более сложных вплоть до удивляющих и в чем-то парадоксальных теорем – это и есть, на мой взгляд, вершина красоты. Но без примеров понять и оценить красоту математики сложно. Поэтому следующие два месяца мы посвятим именно примерам. Сначала – геометрия плоскости, затем – геометрия трехмерного пространства, потом – аксиоматика действительных чисел. Я знаю, что геометрию многие из вас уже хотя бы частично проходили, но преподают ее, к моему сожалению, нередко так, что понимают красоту математики лишь немногие. Очень надеюсь, что уже через два-три занятия вы ощутите всю притягательность логических рассуждений. Я уверен: это поможет вам в жизни. Благодаря этому впоследствии, изучая ту или иную науку, вы увидите в ней не груду разрозненных фактов, а цельную логичную структуру. Изучая языки, вы будете находить закономерности и легко освоите грамматику. Встретившись с теми или иными данными, будете искать их основу, проверять их верность. Вы увидите ошибки в рассуждениях окружающих людей, включая журналистов, писателей и даже ученых. Но… начнем с геометрии плоскости – самого простого, на мой взгляд, примера, с которого тысячи людей до вас открывали для себя понимание красоты математики…
Удивительно, как быстро я привык к быту студента. Еще недавно я скакал на коне, был готов в любой момент рискнуть жизнью, а теперь все это кажется потускневшим миражом, небылицей, которой со мной и быть не могло. Реальностью же было то, что я сидел в аудитории и слушал преподавателя экономической теории:
– На прошлой лекции мы ознакомились с графиком кривой производственных возможностей, демонстрирующим выбор между товарами будущего и товарами настоящего. А теперь вопрос: почему график был выпуклым? Почему не вогнутым, не прямым, а именно выпуклым?
Никто лектору не ответил, но тот терпеливо продолжал ждать, и я в итоге решился:
– Вторая производная меньше нуля.
Все, включая преподавателя, уставились на меня.
– Э-э-э, вы, господин Лерв, проходили университетский курс математики?
– Да нет. Просто ну в детстве нравились всякие расчеты, – смущенно ответил я.
Лектор потряс головой, словно прогоняя наваждение:
– Ладно, я разъясню в несколько более… экономическом ключе. Дело в том, что каждая следующая единица товара требует отказа от все большего количества другого товара. Давайте еще раз взглянем на график и обратим внимание: первые три единицы товара будущего обходятся нам всего в одну единицу товара настоящего, далее мы уже получаем лишь две единицы за ту же самую единицу товара настоящего, затем – одну, потом нам приходится отказаться от двух единиц товара настоящего ради одной единицы товара будущего, а за последнюю единицу товара будущего мы уже расплачиваемся тремя единицами товара настоящего, то есть платим в девять – девять! – раз больше, чем в начале. А теперь вопрос: можно ли сделать так, чтобы получить больше единиц нужного товара, но не платить столь высокую цену? Можно ли выйти вообще за пределы начерченной кривой?
После некоторого молчания один из студентов несмело ответил:
– Нет.
– В какой-то степени вы правы. В рамках данной кривой нельзя. Но… господин Воронин, помогите аудитории.
Владислав, похоже, совсем не был уверен в ответе, но после паузы все же сказал:
– Ну можно обменяться с другими странами.
– Верно! – подтвердил преподаватель. – Сейчас мы покажем и, можно сказать даже, докажем, что все обстоит именно так. Но прежде заострю ваше внимание на том, что эта кривая может быть начерчена для каждого отдельного человека, предприятия, графства и империи в целом. И на каждом уровне обмен ведет к выходу за пределы кривой, значительному улучшению благосостояния. Уже на третьей неделе учебы вы увидите этот факт доказанным. А что делают наши чиновники и бюрократы? Таможенные запреты, завышенные тарифы, глупые лозунги «покупай отечественное», «будь патриотом» и прочая чушь! Этим идиотам нужно было поучиться всего три – три! – недели предмету экономической теории – и они бы поняли очевидное. Но увы и ах, на это их скудного ума не хватает. Люди – удивительно глупые существа.
– Не удивительно, а бесконе-ечно, – послышался голос Джона Голда.
Я не выдержал и рассмеялся вместе с остальными. Преподаватель тоже улыбался:
– В самую точку, господин Голд. Рад, что вы помните мои лекции дословно.
«Экономическая теория» – «Лавка на практике» – «Суть математики». Ритм учебы полностью захватил меня. «Экономическая теория»…
– Господа, представьте: я вам предложу купить новенький учебник, скажем, за половину золотого. Кто готов приобрести его у меня?
Все студенты один за другим подняли руку.
– Хорошо, а представьте, цена будет, скажем, пять золотых. Кто готов купить учебник теперь?
В этот раз свою готовность выказали лишь несколько студентов.
– А если цена будет двадцать золотых?
