Природа боится пустоты полностью

Допустим, нам нужно разделить 35 на 6. Представим 35 в виде прямоугольника со сторонами 7 и 5 (длины тут не важны, поэтому такое представление всегда осуществимо, если одна из сторон равна 1). Если мы теперь построим рядом другой равновеликий исходному прямоугольник со стороной 6, то вторая сторона нового прямоугольника будет, разумеется, равна 35/6. Таким образом, мы получим отрезок, длина которого является результатом требуемого деления.

Выполнялось это следующим образом. К первому прямоугольнику ABDC прикладывался отрезок BE с длиной 6. Затем строилась точка F, лежащая на пересечении продолжений прямых ED и АС. Чертеж дополнялся параллельными линиями, чтобы получился прямоугольник DHGJ, который оказывается равновеликим исходному прямоугольнику ABDC. В последнем утверждении легко убедиться, если заметить, что диагональ EF делит большой прямоугольник AFGE на равные части, причем полученные малые треугольники также попарно равны. Таким образом, площадь DHGJ равна 35, сторона DJ = 6, а, следовательно, сторона DH равна 35/6, что и требовалось получить. Данный способ деления приводит, например, Евклид в своих знаменитых «Началах».

Еще более поучительным является античный метод приближенного извлечения квадратного корня. В «Метрике» Герона Александрийского (жившего, как предполагают, в самом начале нашей эры) приводится следующее правило:

«Извлеки корень из 720… Так как у 720 нет рационального корня, то мы извлечем корень с минимальной погрешностью следующим образом. Поскольку ближайший к 720 полный квадрат есть число 729, имеющее корень 27, то раздели 720 на 27:

720:27=26 и 2/3;

27+26 и 2/3=53 и 2/3;

53 и 2/3:2 = 26 и 5/6.

Итак, приближенный корень есть 26 и 5/6. В самом деле, (26 и 5/6)² = 720 и 1/36, так что погрешность равна всего 1/36. Если мы пожелаем, чтобы погрешность была менее 1/36, то надо вместо 729 подставить 720 и 1/36, проделать ту же процедуру, и тогда получится гораздо меньшая погрешность, чем 1/36».

В оригинальном тексте, разумеется, используется греческая математическая символика и числовая запись, а сама задача формулируется, как необходимость найти сторону квадрата по заданной площади. Никаких пояснений к столь нетривиальной формуле Герон не приводит, хотя почти все теоремы «Метрики» сопровождаются доказательствами. Видимо, данное правило являлось общеизвестным и не требовало особых комментариев, а в книге оно появилось лишь для того, чтобы напомнить читателю порядок вычислений. Заметим, что уже в работах Архимеда (жившего на несколько веков раньше) извлечение корня всегда осуществлялось без всяких пояснений, так что, вероятно, эта процедура действительно была известна всем математикам. Разберемся в ней и мы.

Пусть необходимо извлечь квадрат из числа a, причем ближайший полный квадрат есть b², тогда, согласно Герону, имеем следующую формулу

Геометрически это можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть ABDC есть исходный квадрат, имеющий заданную площадь a. Построим два одинаковых равновеликих данному квадрату прямоугольника AKPM и AHJF с основанием равным b. При этом один прямоугольник расположим вертикально, а второй горизонтально. Вторая сторона этих прямоугольников будет, разумеется, равна a/b. Точка B неизбежно лежит между точками H и K, то есть длина стороны исходного квадрата находится между b и a/b (рассуждение сохраняет свою силу независимо от того, будет ли ближайший полный квадрат больше или меньше исходного). Античная формула предлагает принять приближенное значение искомой стороны квадрата как среднее арифметическое между верхней и нижней границами (то есть разделить отрезок HK пополам и получить отрезок AQ ≈ a^0,5).

Если точность такого решения нас не устраивает, то мы повторим описанное построение еще раз (пунктирные линии на чертеже), но теперь уже вместо b примем известный отрезок AQ. Из рисунка ясно, что на втором шаге приближение окажется существенно лучшим. При необходимости данную процедуру можно повторять сколь угодно много раз, добиваясь любой требуемой точности, хотя описанное решение сходится достаточно быстро и для практических нужд обычно хватает одной-двух итераций.