Природа боится пустоты полностью

Выше уже говорилось о том, что и Фалес из Милета, и Пифагор из Самоса являлись крупными общественными деятелями, которые ездили в Египет и, видимо, обучались там геометрии, чем и снискали себе особую славу и влияние. Однако сочинения Фалеса быстро исчезли из обращения, а Пифагор вовсе ничего не писал, так что оба этих философа являются полулегендарными фигурами, и поэтому нельзя в точности понять — что именно является результатом их собственной работы, а что было приписано им задним числом. Считается, что Фалес умел исчислять высоту сооружений по длине их тени, а также мог определять расстояние от берега до корабля, то есть в совершенстве владел теорией подобия треугольников. А вот упомянутую выше теорему о том, что треугольник, построенный на диаметре окружности, всегда получается прямоугольным, приписывают не только Фалесу, но и Пифагору. О последнем мы знаем в основном лишь различные мифические истории, причем о его авторстве в отношении знаменитой «теоремы Пифагора» нам впервые сообщает (весьма неуверенно) только неоплатоник Прокл, живший почти тысячу лет спустя.

В середине V века до нашей эры геометрия у греков уже становится предметом споров и обсуждений. Зенон Элейский подвергает ее остроумной критике, вскрывая логическую противоречивость примитивных математических взглядов, допускающих возможность делить пространство и время на мельчайшие непротяженные элементы. Протагор из Абдеры и вовсе доказывает, что отвлеченные геометрические понятия не нужны и даже вредны, поскольку не соответствуют реальной действительности (в самом деле, в быту мы едва ли ожидаем встретить линию, не имеющую вовсе никакой ширины).

С другой стороны, Анаксагор уже тогда решает уточнить перенятое у египтян значение числа π, для чего пытается (разумеется, безрезультатно) строить квадрат с площадью равной площади заданного круга.

Настоящий расцвет ранняя греческая геометрия пережила благодаря работе Демокрита и основанной им атомистической школы. Судя по всему, все свои математические изыскания атомисты вели на безе нескольких предпосылок (лемм). Приведем здесь некоторые из них:

— сумма бесконечно большого числа любых, даже чрезвычайно малых, протяженных величин бесконечно велика;

— сумма любого, даже бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю;

— точка есть то, что не имеет частей;

— прямая есть такая линия, которая имеет то же самое направление, что и лежащие на ней точки;

— плоскость есть такая поверхность, которая имеет то же направление, что и лежащие на ней прямые;

— прямая состоит из точек, плоскость состоит из приложенных друг к другу прямых, тело состоит из наложенных одна на другую плоскостей;

— если через все точки кривой провести прямые и получить ломаную линию, то эта ломаная будет тождественна исходной кривой;

— если некоторая величина путем прибавления или вычитания может достигнуть требуемой величины, то можно утверждать, что она состоит из частиц, а все величины, состоящие из частиц, относятся друг к другу как целые числа.

Как признавал еще Архимед, с некоторыми из этих лемм «нелегко согласиться», однако они оказались очень мощным инструментом в деле поиска и доказательства новых истин. Из двух первых лемм Демокрит выводил необходимость существования неделимых величин «амеров» (эти математические объекты не следует путать с атомами, которые являлись физически неделимыми, но могли обладать любыми размерами и допускали мысленное деление на части). Таким образом, фактически вводились понятия для примитивного интегрального исчисления.