Природа боится пустоты полностью

Но, пожалуй, самым важным открытием пифагорейцев оказались иррациональные числа, и прежде всего — доказательство иррациональности квадратного корня из двух. Важно помнить, что греки признавали и понимали только целые числа или целочисленные дроби. Фактически длина понималась как некоторое количество единичных отрезков. Дроби также мыслились с позиции соизмеримости. Так, например, если два отрезка находятся в отношении 3/5, то для греков это означало, что один из них состоит из трех единиц длины, а другой — из пяти. Открытие несоизмеримости буквально потрясло античных математиков, ведь оказалось, что за единичный эталон нельзя принять никакую, даже самую малую, длину. Обнаружение этого факта потребовало использования нового метода — доказательства от противного с последующим сведением к абсурду. Вот как это выглядело.

Из теоремы Пифагора получается, что если у квадрата длинна стороны равна 1, то длина диагонали будет равна квадратному корню из 2, который невозможно выразить целочисленной дробью. Действительно, предположим, что все же существуют такие целые числа p и q, что (p/q)² = 2. Также предположим, что p и q являются наименьшими числами, для которых верно данное равенство.

Очевидно, что p² = 2q², значит p² — четное число, но тогда p тоже должно быть четным, и мы можем записать его в виде p = 2p'. Подставим это выражение в исходное равенство и получим q² = 2p'². Повторив все предыдущие рассуждения, мы получаем, что число q также четное и может быть записано как q = 2q', откуда теперь получаем p'² = 2q'² или (p'/q')² = 2. Мы получили противоречие исходному положению, ведь p' и q' вдвое меньше p и q, и, значит, такие числа не могут существовать вовсе, то есть квадратный корень из 2 невозможно представить целочисленной дробью.

Приведенные рассуждения легко обобщаются, так что таким же способом можно легко доказать, что, если квадратный корень из любого числа не извлекается нацело, то он иррационален.

В любом случае по геометрической концепции атомистов был нанесен удар сокрушительной силы. В самом деле, получалось, что существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом отношении ни к какой единице длинны, то есть нет таких двух целых чисел p и q, что данный отрезок, взятый p раз, был бы равен единице длины, взятой q раз.

Положение о том, что существуют несоизмеримые величины, привело греческих математиков к убеждению, что числа являются не совсем «хорошими» вещами, поэтому геометрию следует развивать независимо от них. Пифагорейцы же посчитали, что информацию о существовании иррациональности вовсе не следует сообщать другим людям, и, по легенде, даже убили своего соратника Гиппаса за то, что тот все-таки разгласил эту тайну.

После открытия несоизмеримых величин математика атомистов быстро потеряла почти всех сторонников. Поражение в области геометрии привело к тому, что всё учение Демокрита было предано забвению как ошибочное. Сочинения атомистов почти перестали копировать и читать.

Атомистическая математика действительно не была достаточно строгой, поэтому против нее и ранее выдвигался целый ряд возражений, часть из которых оказывалось не так-то просто опровергнуть. Рассмотрим одно из таких. Предположим, что треугольник действительно состоит из множества приложенных друг к другу прямых. Пусть они будут параллельны одному из катетов. Тогда, каждая из этих прямых пересечет другой катет и гипотенузу в точке, причем ясно, что таких точек окажется равное число и на катете, и на гипотенузе. Но, поскольку прямые линии состоят из точек, то получается, что катет равен гипотенузе, а это абсурдно.

Теперь математикам идеалистического лагеря — пифагорейцам и примкнувшим к ним платоникам — потребовалось дать новый взгляд на геометрию, который в итоге оказался основополагающим на два следующих тысячелетия. Эта новая математика рождалась в ходе яростной борьбы с материализмом, поэтому изменился сам характер аргументации. Геометры V века до нашей эры видели в читателях своих соратников, с которыми можно было делиться мудростью в форме дружеской интеллектуальной беседы. Теперь же всё изменилось — читатель превратился в яростного противника, который готов ухватиться за любую неточность и обрушить на соперника жестокую критику. А потому авторы математических работ перестали делиться секретами своего мастерства и рассказывать о том, как им удалось получить ту или иную теорему. Требовалось лишь безукоризненно строго доказать, что предлагаемое решение является истинным.

Тут математикам как нельзя лучше подошли проверенные временем риторические приемы, которые греческие софисты разрабатывали для юридических целей. К этому моменту накопилось множество примеров эффектных судебных речей, где обвиняемый тщательно разбирал предполагаемую картину своего преступления, рассматривал ее со всех сторон и доказывал, что она в принципе невозможна, ибо каждое логическое следствие из неё приводит к противоречию, то есть — к абсурду.