Природа боится пустоты полностью

Друг Платона, пифагореец, государственный деятель и военачальник Архит Тарентский нашел невероятно изящное решение задачи об удвоении куба, отыскав точку пересечения цилиндра, конуса и тора. Переход к стереометрическим построениям, разумеется, требовал отказа от использования только лишь циркуля и линейки, но зато позволял графически решать уравнения высших степеней (линия пересечения тора с цилиндром является кривой восьмого порядка). Таким путем Архит открыл конические сечения: параболу и гиперболу (об эллипсе знали и раньше).

Однако наиболее выдающимся математиком IV века до нашей эры оказался Евдокс из города Книда. Несмотря на бедность, голод и нужду, он находил средства, чтобы обучится математике в Египте у жрецов, в Италии у Архита, в Афинах у платоников и еще в ряде мест античного мира. Сочинения самого Евдокса не сохранились, но он упоминается у ряда поздних авторов, а многие его результаты приведены в «Началах» Евклида.

Главной целью Евдокса стало создание такого геометрического аппарата, который бы сделал все рассуждения и доказательства неоспоримыми и убедительными для каждого человека. Для этого без всякой опоры на какую-либо философскую концепцию давался ряд аксиом, из которых далее логически выводилось всё остальное.

Выбранный Евдоксом подход оказался плодотворным. До него греки оперировали лишь целыми числами, а он постулировал, что величины имеют отношение, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. Это снимало открытую пифагорейцами проблему несоизмеримости и фактически являлось геометрической интерпретацией вещественных чисел. Сам Евдокс, впрочем, работал лишь с отрезками, площадями или объемами и не рассматривал их отношения как количества, которыми считают предметы.

Однако важнейшим достижением Евдокса являлась разработка метода исчерпывания (название появилось лишь в новое время, а у греков этот метод не имел отдельного наименования). Суть всех построений тут была сходной с тем, что предложил еще Антифонт — в фигуру вписывались многоугольники со все большим числом сторон, пока вся ее площадь не исчерпывалась — однако само решение получалось как бы из ниоткуда, а его верность обосновывалась путем ложного предположения и приведения к абсурду. Таким способом Евдокс сумел дать логически точное доказательство формул для объема пирамиды, конуса и шара, которые ранее были найдены атомистами.

За основу метода исчерпывания Евдокс взял следующую аксиому: Избыток, на который большая величина превышает меньшую, можно сделать, складывая его с самим собой большим, чем какая бы то ни было заранее заданная конечная величин. Из этой аксиомы вытекала теорема: Если от данной величины мы отнимем половину или большую часть, и будем продолжать так поступать раз за разом, то, в конце концов, получим остаток, который будет меньше сколь угодно малой величины. Иными словами, если а больше b, то имеется такое целое число n, что (a/2n)<b. Отсюда прямо следует важное положение античной геометрии: линия не состоит из точек и величины могут быть делимы до бесконечности.

Метод исчерпывания иногда приводит к точному результату, а иногда лишь к сколь угодно близкому приближению. Для примера рассмотрим доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Рассмотрим два круга ABCD и EZHG. Обозначим их площади буквой S.

Предположим, что

тогда, очевидно, имеем

где K либо больше, либо меньше S_EZHG.

Допустим, что K меньше EZHG. Впишем в круг EZHG многоугольник W (вся заштрихованная область на рисунке), последовательно полученный из вписанного квадрата, и равнобедренных треугольников, достроенных на каждой стороне квадрата, а также — множества равнобедренных треугольников, достраиваемых на каждой получаемой стороне.

Несложно показать, что на каждой итерации достраивания многоугольника W мы заштриховываем больше половины оставшейся площади круга. На основании приведенной выше теоремы достраивание можно продолжать до тех пор, пока площадь многоугольника W не станет больше чем K (то есть разница между площадью круга и многоугольника W не станет меньше, чем разница между площадью круга и K).

Теперь впишем в круг ABCD многоугольник V, подобный многоугольнику W. Известно, что площади подобных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных окружностей

Поскольку умы предположили, что

то теперь имеем

или же