Но площадь многоугольника V в любом случае хоть немного, но меньше описанной вокруг него окружности ABCD, а вот площадь многоугольника W просто по построению больше
Аналогичным способом можно доказать, что
Ученик Евдокса и член Афинской Академии по имени Менехм первым дал связное учение о конических сечениях, хотя, как мы помним, многое о них уже было известно и ранее. В зависимости от того, как именно мы будем рассекать конус, можно получить в сечении окружность, эллипс, параболу или гиперболу. Изначально кривые второго порядка вводились как параллельное образующей плоское сечения отдельно прямоугольного (парабола), тупоугольного (гипербола) и остроугольного (эллипс) конусов.
Занимаясь удвоением куба, Менехм дал два решения: пересечением двух парабол и пересечением параболы и гиперболы. Понять эти решения несложно. Для удвоения куба необходимо извлечение корня третьей степени, которое невозможно осуществить с помощью циркуля и линейки, однако, если мы добавим к прямым и окружностям еще и конические сечения, то проблема разрешится довольно легко. Так, если нам требуется получить корень уравнения
Правда, греки не пользовались алгебраическими обозначениями и не записывали уравнения кривых, однако их словесные описания и графические построения были достаточно близки к современным.
Такова была, в общих чертах, та математическая традиция, с которой греки вступили в эпоху эллинизма. Некоторая сложность изложенного материала не должна смущать читателя, но наоборот — призвана показать, насколько высоко поднялась античная геометрическая мысль (мы коснулись здесь лишь немногих самых интересных моментов). Именно на этом фундаменте создавали свои труды такие заслуженные мастера, как Евклид, Архимед и Аполлоний, о которых мы поговорим в следующей главе. Конечно, полная геометризация всей математики являлась, с современной точки зрения, неудачным решением, которое чрезмерно усложнило всякие операции и преобразования. Евклиду приходилось отдельно доказывать для чисел всё то же самое, что перед этим было доказано для длин отрезков. Однако, поскольку адекватной арифметической теории несоизмеримых величин просто не существовало, то выбранная дорога казалась наилучшей из возможных. Когда Рене Декарт, два тысячелетия спустя, вновь возвращал арифметику на первое место, он просто предположил, что проблему несоизмеримости решат когда-нибудь в будущем.
Другим важным следствием открытия иррациональных величин оказалось забвение примитивных методов анализа, которые хоть и были неточны, но зато позволяли получать новые знания. Отказ от метафизических «неделимых» в пользу логической строгости имел результатом то, что процедура математического творчества оказалась полностью выхолощенной. Метод исчерпывания хоть и являлся мощнейшим инструментом для безупречных доказательств, но при этом сам по себе не обогатил геометрию ни одной новой истиной. Отныне математикам оставалось лишь до блеска отшлифовывать аргументацию, выстраивая безупречные обоснования старых теорем. Времена математического созидания и поиска сменились долгим периодом обобщения и подведения итогов.
Само становление греческой математики служит яркой иллюстрацией того, как творческая научная мысль становится лишь отражением протекающих в обществе процессов. В нескольких предыдущих главах мы проследили историю античной геометрии как раз до времени походов Александра, после которых мир эллинов радикально преобразился. Наступило время подведения промежуточных итогов. И отныне не было иного места, где условия для подобной работы оказались бы лучше, чем в Александрии.
Уже первый математик Музея — Евклид, о жизни которого ничего неизвестно, — составил так называемые «Начала», объединившие почти всю накопившуюся геометрическую мудрость в единый учебный курс. Данный труд опирался на сочинения Гиппократа Хиосского и Евдокса, поэтому содержал мало нового, зато отличался логической последовательностью и стройностью изложения, а потому быстро вытеснил все предыдущие руководства и учебники. Старые математические сочинения (включая разнообразные «Начала» более ранних авторов) больше не переписывались, и уже к первому веку нашей эры они полностью исчезли из обращения. Лишь от некоторых сохранились краткие отрывки, чаще всего в виде цитат и упоминаний.
