Природа боится пустоты полностью

Текст «Математического собрания» дошел до нас не полностью, но основная его часть сохранилась. О многих достижениях (в том числе и несохранившихся) других античных авторов нам известно только лишь из этого сочинения, снабженного, кроме прочего, и некоторыми историческими справками. Первые семь книг трактата охватывают чисто математические вопросы, достаточно трудные и взятые в основном из более ранних работ, хотя приводятся и отдельные результаты самого Паппа. Нужно признать, что масштаб и глубина рассмотренных проблем говорят о незаурядных способностях автора: многие теоремы были им дополнены, а доказательства улучшены и упрощены, но без потери строгости. Совсем иначе выглядит посвященная механике восьмая книга «Математического собрания», где наглядно проявляются как отсутствие единой научной системы, так и слабая компетентность Паппа.

Вводный параграф восьмой книги говорит о том, что механика сама по себе рассматривает непосредственно материю, изучая положение тел и исследуя причины естественных движений, а также движений, осуществляемых против природы. За этим вполне аристотелевским определением следует перенятая у Герона классификация, подразделяющая механику на теоретическую (геометрия, арифметика, астрономия, физика) и практическую (обработка металлов и дерева, строительные умения и живопись). Далее Папп справедливо отмечает, что каждый желающий овладеть перечисленными техническими искусствами должен усвоить необходимые именно для него разделы математики, поскольку изучить всю геометрию и одновременно стать хорошим инженером не под силу ни одному человеку.

Изложение собственно механики начинается с учения о центре тяжести, который определяется как точка внутри тела, при мысленном подвешивании за которую это тело сохраняет свое положение. Далее по большей части повторяется текст Герона со ссылкой на несохранившуюся работу Архимеда «О равновесии». Общие метафизические определения понятий «тяжесть», «легкость», «верх» и «низ» не рассматриваются вовсе, а сообщается лишь, что обо всем этом можно прочитать у Птолемея. Весьма характерно, что Папп с одной стороны не считает необходимым касаться абстрактных философских вопросов, а с другой — отсылает всех интересующихся не к первоисточникам, но к трудам другого работавшего в Александрии энциклопедиста.

Наиболее же интересной и оригинальной у Паппа является задача о подъеме тела по наклонной плоскости. Рассмотрение этой проблемы у Герона выполнено совершенно неудовлетворительно безо всякого математического анализа, поэтому представляется особенно любопытным, насколько в этом вопросе продвинулись античные механики за последующие три века. Здесь нас сразу же ждет разочарование: по непонятной причине Папп полагает, что для движения по горизонтальной поверхности к телу необходимо приложить силу пропорциональную его весу и явно несводимую к трению. Это тем более удивительно, что ложность данного тезиса, как мы уже знаем, была убедительно обоснована еще Героном, у которого Папп кропотливо переписывал целые разделы. Сложно сказать, в чем тут причина: в недостаточном непонимании физического явления или же в использовании иного источника, но предлагаемое Паппом решение оказывается полностью ошибочным, хоть и выглядит достаточно наукообразно. Само рассуждение ведется (в современных обозначениях) следующим образом.

Пусть имеется некоторый вес M, который может быть движим по горизонтальной плоскости силой F. Также имеется подобная плоскость, наклоненная к горизонту под углом α. Необходимо определить, силу P, которая сможет поднять груз по наклонной плоскости.

Для дальнейших построений Папп заменяет тело аналогичным по весу шаром, центр которого O совпадает с центром тяжести исходного груза. Шар касается наклонной плоскости в точке K. Проведем перпендикуляр KO, затем — горизонтальный отрезок OJ и вертикальный отрезок KH. Легко доказать, что все прямоугольные треугольники на чертеже подобны, и, поскольку нам известен угол α и радиус шара KO, то мы знаем и все остальные стороны. Далее предполагается безо всяких доказательств, что если шар находится в равновесии на наклонной плоскости, то его можно полагать уравновешенным на рычаге OJ с точкой опоры H (это просто-напросто неверно). Из закона рычага следует, что на J необходимо разместить груз M1 равный

Постулируется, что дополнительная сила N, эквивалентная грузу M1 (то есть отвечающая за удержание тела на наклонной плоскости), пропорциональна весу этого груза и потому имеем также

Тогда для движения по наклонной плоскости необходима итоговая сила

Очевидно, Папп полагает, что сила P складывается из части, которая отвечает за само движение по плоскости (компонент F), и части, которая позволяет удержать тело на наклонной плоскости (компонент N).