Гильберт полностью

Изучая классический квадратичный закон взаимности Гаусса, Гильберту удалось переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, бoльших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья «О теории относительно абелевых полей», вышедшая спустя год после Zahlbericht. В этой работе, по существу программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как «теория полей классов», и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось «божественным откровением» — нигде в других его работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличие от работы по теории инвариантов, положившей конец развитию теории, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований. Но для других математиков.

Сам Гильберт неожиданно перешёл в другую область.

Сообщение о том, что в зимнем семестре 1898–1899 года Гильберт будет читать курс по геометрии, было неожиданным для студентов, за все эти три года в Гёттингене слышавших от него про одни только «числовые поля». Однако новое увлечение Гильберта не было совершенно неожиданным.

Ещё доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии. Находясь под влиянием абстрактной точки зрения Винера на геометрические объекты, по дороге в Кёнигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках». В этом шутливом замечании содержалась суть курса лекций, которые он намеревался прочесть.

Чтобы понять подход Гильберта к геометрии, надо помнить, что на начальном этапе своего развития математика представляла собой, в основном, беспорядочный набор утверждений, которые казались очевидными или логически вытекали из других кажущихся очевидными утверждений. Критерий очевидности применялся в это время без всяких ограничений, для того чтобы овладеть новыми математическими знаниями. Наконец, в III веке до нашей эры некий учитель по имени Евклид собрал часть современных ему знаний в том виде, который стал общепринятым в последующие времена. Вначале он определил используемые им термины — точки, прямые, плоскости и т.д. Затем он свёл большое число очевидных утверждений примерно к десятку утверждений, верность которых не вызывала никаких сомнений и потому принималась без доказательства. Из этих определений и аксиом (как позже были названы эти утверждения) ему удалось вывести почти пятьсот геометрических предложений, или теорем. Во многих случаях последние теоремы были совсем не очевидными, однако их истинность гарантировалась тем фактом, что все они выводились в строгом соответствии с принятыми правилами логики из уже принятых на веру определений и теорем.

Хотя Евклид не был самым изобретательным греческим геометром, а аксиоматический метод был известен и до него, его изложение геометрии вызывало всеобщее восхищение. Однако вскоре математики начали сознавать, что, несмотря на свою красоту и совершенство, работа Евклида содержала некоторые пробелы. Например, принятых аксиом было недостаточно для вывода всех теорем. Иногда попадались другие, несформулированные предположения, особенно связанные с наглядным представлением о невозможности пересечения определённых прямых линий. Кроме того, одна из евклидовых аксиом — постулат о параллельных прямых — казалась уж не такой очевидной и не могла быть принята на веру без доказательства. Один из многочисленных вариантов этой аксиомы, по существу, эквивалентен утверждению, что через любую точку вне данной прямой можно провести ровно одну прямую, не пересекающую данную прямую. Как правило, однако, этот и другие пробелы в евклидовой геометрии были не особенно серьёзными — их можно было легко устранить введением дополнительных аксиом, призванных восполнить явно не сформулированные предположения, либо доказательством сомнительной аксиомы в качестве теоремы или заменой её на более очевидную аксиому, либо, наконец, приведением отрицания этой аксиомы к противоречию. Последний, наиболее хитроумный способ решения проблемы постулата о параллельных прямых впервые ввёл в математику понятие совместности, или непротиворечивости.

По-видимому, Гаусс был первым математиком, который примерно в 1800 году пришёл к мысли, что отрицание евклидова постулата о параллельных прямых не приводит к противоречию и, тем самым, возможны геометрии, отличные от евклидовой. Так как эта идея уж слишком сильно попахивала метафизической спекуляцией, он никогда не публиковал этих исследований и лишь по секрету сообщил о них своим ближайшим друзьям.