О других же математических сочинениях Эратосфена осталось крайне мало информации: в полном объеме известен лишь небольшой отрывок, где дается простейший способ составления таблицы простых чисел (известное нам еще со школы «решето»). Об остальных текстах ученого мы знаем по упоминаниям, и можем восстановить их содержание только косвенно. Так, произведение «Платоник» было посвящено пропорциям, гармонии и музыке, занимавшим огромное место в учении самого Платона, полагавшего, будто эти вещи учат людей пониманию превосходства геометрического равенства (когда права соответствуют достоинству человека) над арифметическим (когда у всех одинаковые права).
Также именно со слов Эратосфена известно, что Платон не признавал метод объемных мест, когда решения задач отыскиваются с помощью пересечения трехмерных тел. Подобный подход низводил математику к бренному чувственному миру, вместо того, чтобы возвышать наш разум до общения с вечным и бестелесными идеями. Эта авторитетная точка зрения надолго укрепилась в эллинских умах, и сам Эратосфен, похоже, полностью ее разделял. Именно поэтому вместо конических сечений он предлагал компромиссный вариант — подвижные механизмы, при использовании которых вполне можно было обходиться построением лишь прямых и окружностей. В таком случае точки пересечения кривых второго порядка отыскивались завуалированным образом, не требующим прибегать непосредственно к построению эллипсов, парабол или гипербол. Данный метод был известен грекам задолго до Эратосфена, который в лучшем случае оказался первым, кто действительно начал конструировать и реально использовать такого рода устройства. Впрочем, всякое движение также не одобрялось Платоном, поэтому механические приборы считались нежелательными и допускались лишь только, если иные способы не давали решения.
Самый простой геометрический механизм выглядит удивительно просто: на линейке отмечают две точки, отдаленные на заданное расстояние, затем в определенное место вставляют гвоздик, прижимают к нему линейку и поворачивают ее так, чтобы две отмеченные точки оказались одновременно на двух заданных кривых.
Для примера рассмотрим задачу о трисекции угла. Пусть имеется некоторый угол α. Построим такой угол β, чтобы α = 3β. Обозначим вершину угла α точкой O и проведем произвольную окружность с центром в этой точке. Лучи угла α пересекут окружность в точках M и P.
Обозначим длину отрезка OM за
Доказать правильность такого решения несложно. Все построенные на чертеже треугольники являются равнобедренными, со сторонами равными радиусу окружности. Кроме того угол PBO = 2β, поскольку является внешним углом треугольника ABO. В треугольнике BPO угол γ = 180-2β-2β=180-4β. С другой стороны угол AOM развернутый, поэтому γ = 180-β-α. Отсюда следует, что α = 3β, а это и требовалось доказать.
Разумеется, мезолябия (как и другие механизмы) давала точные решения лишь в теории, поскольку на практике оказывалось очень трудно выставить пластинки в требуемое положение. Неудивительно поэтому, что греки не удовлетворились подобными техническими средствами и все-таки окончательно ввели в геометрию объемные геометрические места. Вместо пересечения прямых и окружностей теперь рассматривались линии пересечения цилиндров, конусов, шаров и плоскостей, в результате чего возникали кривые высших порядков. Отдельное, не дошедшее до нас сочинение Евклида было посвящено как раз коническим сечениям, которые хоть и не одобрялись Платоном, но имели тогда сугубо теоретическое значение, а потому все-таки считались приемлемыми.
Изначально греки действительно рассматривали пересечения реальных трехмерных фигур, но уже Менехм и Евдокс знали, что во всех рассматриваемых случаях получается несколько вполне определенных кривых, которые можно вычерчивать на плоскости по определенным правилам. По своей сути эти правила являлись аналогом наших современных уравнений. Сложность математических изысканий теперь существенно возросла, однако никто не предполагал, что эти вопросы могут принести когда-нибудь реальную практическую пользу. Лишь в XVII веке Кеплер открыл, что планеты движутся по эллипсам, а Галилей показал, что пушечные ядра летят по параболам. Греки изучали кривые высших порядков исключительно из любознательности или тщеславия, либо же из стремления постигнуть высшие философско-мистические истины. Образованные греки не видели (да и не могли увидеть) вокруг себя ничего, что требовало бы использования всей мощности доступного им математического аппарата. Но коль скоро подходящих для изучения объектов не удавалось отыскать на Земле, эллины обратили свои взоры на небо.
