Особый интерес такого рода построения вызывали у Архимеда, который достиг удивительных высот в математических исследованиях. Он, в отличие от Евклида, являлся оригинальным мыслителем, направившим всю мощь своего гения на неустанный поиск новых истин и последующую пропаганду сделанных открытий. При этом Архимеда не волновало обобщение достижений прошлого, поэтому в своих работах он зачастую просто ссылался на уже известные в его время результаты, пропуская при этом часть доказательств.
Труды Архимеда известны нам в основном благодаря тому, что у эллинистических ученых существовала следующая занимательная традиция: математик, которому удавалось открыть новую интересную теорему, не спешил сразу же публиковать результаты, но сперва предлагал коллегам испытать свои силы в поиске доказательства (схожий обычай вновь возникнет у европейских ученых в XVII–XVIII веках). Так, вернувшись из Александрии в родные Сиракузы, Архимед вёл оживленную переписку со своими друзьями из Музея — главой библиотеки Эратосфеном и придворным астрономом Кононом, а позже — с его любимым учеником Досифеем. Последнему, впрочем, ввиду его молодости Архимед уже не предлагал найти доказательства новых теорем самостоятельно, а сразу же сообщал их в полном объеме.
Любимыми разделами геометрии оказались у Архимеда те, которые требовали применения интегрирования, поскольку лишь этот метод еще позволял получать действительно новые знания. Остальное, сколь это позволяли старые средства, было открыто еще до Евклида. Тем не менее, сама процедура интегрирования, как мы помним, была запрещена идеалистической философией, а потому Архимед оказался вынужден перенести в математику некоторые приемы из разработанной им же механики: учение о центре тяжести и закон рычага, которые мы подробно рассмотрим в одной из следующих глав. Подразумевалось, что условное тело как бы нарезается на тонкие пластинки, которые затем каким-нибудь хитроумным способом уравновешиваются на воображаемом рычаге с помощью известного груза. Фактически это было не чем иным, как замаскированным методом атомистов, да еще и многократно усложненным за счет механических построений. Сам Архимед, однако, обладал техническим складом ума, и потому достиг невероятной виртуозности именно в «механическом интегрировании».
В любом случае даже закон рычага не мог скрыть того факта, что в решениях Архимеда тела делились на тончайшие элементы, поэтому механический метод мог тогда считаться пригодным лишь для нахождения новых предварительных результатов, которые затем требовалось строго доказывать. Не вполне ясно, считал ли сам Архимед свои рассуждения логически безупречными, но он точно сомневался, что механические нововведения убедят его коллег.
Хоть и известно, что Архимед многие свои решения находил именно с помощью интегрирования, однако в поздних работах предпочитал вовсе не упоминать о нем, используя классический общепризнанный тогда метод исчерпания с последующим сведением к абсурду. Важным новшеством тут оказалось использование сразу двух достраиваемых фигур — вписанной и описанной. Имея нестрогое атомистическое решение, Архимед показывал, что площадь вписанной фигуры всегда меньше этого решения, а площадь описанной — всегда больше, но при этом разницу между этими площадями можно сделать сколь угодно малой, меньше любой заданной величины. Таким образом, оказывалось, что площадь искомой кривой не может быть ни больше, ни меньше имеющегося решения, поскольку заключена между сближающимися между собой верхней и нижней границами. Некоторым образом такой подход, хоть и неявно, мог подвести читателей к современному нам понятию предела. С другой стороны, Архимед не выделил приведенные рассуждения в отдельную теорему и подробно повторял их для каждого рассматриваемого случая.
